Question

2．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且$sinA=\sqrt{6}sinC$，$c=\sqrt{3}$．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）如果$cosA=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，求b的值及△ABC的面積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由正弦定理得$a=\sqrt{6}c$，由此能求出a．
（Ⅱ）由余弦定理求出b=5，由此能求出△ABC的面積．

解答 （本小題9分）
解：（Ⅰ）因為$\frac{a}{sinA}=\frac{c}{sinC}$以及$sinA=\sqrt{6}sinC$，…（2分）
所以$a=\sqrt{6}c$，
因為$c=\sqrt{3}$…（3分）
所以$a=3\sqrt{2}$…（4分）
（Ⅱ）因為a²=b²+c²-2bccosA以及$cosA=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$…（5分）
所以b²-2b-15=0，因為b＞0，…（6分）
所以b=5…（7分）
因為$cosA=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，0＜A＜π，
所以$sinA=\frac{{\sqrt{6}}}{3}$…（8分）
所以${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}bcsinA=\frac{{5\sqrt{2}}}{2}$．…（9分）

點評 本題考查三角形中邊長的求法，考查三角形面積的求法，考查三角形面積、正弦定理、余弦定理等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是中檔題．