Question

14．已知函數(shù)f（x）=$\frac{2}{3}$x³-2ax²-3x
（1）當(dāng)a=0時(shí)，求曲線y=f（x）在點(diǎn)（3，f（3））的切線方程
（2）對(duì)一切x∈（0，+∞），af′（x）+4a²x≥lnx-3a-1恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求出切線的斜率，即可求曲線y=f（x）在點(diǎn)（3，f（3））的切線方程；
（2）由題意：2ax²+1≥lnx，即a≥$\frac{lnx-1}{{2x}^{2}}$，求出右邊的最大值，即可求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

解答 解：（1）由題意知f（x）=$\frac{2}{3}$x³-3x，所以f′（x）=2x²-3，
又f（3）=9，f′（3）=15，
所以曲線y=f（x）在點(diǎn)（3，f（3））的切線方程為15x-y-36=0；
（2）由題意：2ax²+1≥lnx，即a≥$\frac{lnx-1}{{2x}^{2}}$，
設(shè)g（x）=$\frac{lnx-1}{{2x}^{2}}$，則g′（x）=$\frac{3-2lnx}{{2x}^{3}}$，
當(dāng)0＜x＜${e}^{\frac{3}{2}}$時(shí)，g'（x）＞0；當(dāng)x＞${e}^{\frac{3}{2}}$時(shí)，g′（x）＜0，
所以當(dāng)x=${e}^{\frac{3}{2}}$時(shí)，g（x）取得最大值g（x）_^max=$\frac{1}{{4e}^{3}}$，
故實(shí)數(shù)a的取值范圍為[$\frac{1}{{4e}^{3}}$，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查函數(shù)的單調(diào)性與極值，考查恒成立問題，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．