14．已知數(shù)列{an}滿足an=logn+1（n+2）（n∈N*），定義：使乘積a1，a2，a3，…ak為正整數(shù)的k叫做“期盼數(shù)”，則在區(qū)間[1，2015]內所有的“期盼數(shù)”的和為（　�。�
A．2036B．4072C．4076D．2026

分析 由題意，及對數(shù)的換底公式知，a1•a2•a3…ak=log2（k+2），結合等比數(shù)列的前n項和進行求解即可．

解答 解：∵an=logn+1（n+2）（n∈N*），
∴由a1•a2…ak為整數(shù)得1•log23•log34…logk（k+2）=log2（k+2）為整數(shù)，
設log2（k+2）=m，則k+2=2m，
∴k=2m-2；
∵211=2048＞2015，
∴區(qū)間[1，2015]內所有“期盼數(shù)”為：21-2，22-2，23-2，24-2，…，210-2，
其和M=21-2+22-2+23-2+24-2+…+210-2=$\frac{2（1-{2}^{10}）}{1-2}$-10=211-2-20=2026．
故選D．

點評 本題以新定義“期盼數(shù)”為切入點，主要考查了對數(shù)的換底公式及對數(shù)的運算性質的應用．

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：選擇題

4．設y=f（x）（x∈R）是定義在R上的以4為周期的奇函數(shù)，且f（1）=-1，則f（11）的值是（　　）
A．-1B．1C．2D．-2

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

5．設命題P：實數(shù)x滿足2x2-5ax-3a2＜0，其中a＞0，命題q：實數(shù)x滿足$\left\{{\begin{array}{l}{2sinx＞1}\\{{x^2}-x-2＜0}\end{array}}\right.$．
（1）若a=2，且p∧q為真，求實數(shù)x的取值范圍；
（2）若￢p是￢q的充分不必要條件，求實數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

2．已知函數(shù)$f（x）=ln\frac{ex}{2}-f'（1）•x$，g（x）=$\frac{3}{2}$x-$\frac{2a}{x}$-f（x） （其中a∈R）．
（1）求 f（x）的單調區(qū)間；
（2）若函數(shù) g（x）在區(qū)間[2，+∞）上為增函數(shù)，求a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

9．已知函數(shù)$f（x）=\frac{lnx+a}{x}（a∈$R）．
（1）若曲線在點（1，f（1））處的切線與直線x-y-1=0平行，求a的值；
（2）在（1）條件下，求函數(shù)f（x）的單調區(qū)間和極值；
（3）當a=1，且x≥1時，證明：f（x）≤1．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：選擇題

19．若$|{\overrightarrow a}|=4$，$|{\overrightarrow b}|=3$，$\overrightarrow a，\overrightarrow b$的夾角為60°，則$|{\overrightarrow a+\overrightarrow b}|$=（　　）
A．$\sqrt{13}$B．$\sqrt{15}$C．$\sqrt{19}$D．$\sqrt{37}$

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

6．已知函數(shù)f（x）=2cos2x+2$\sqrt{3}$sinxcosx．
（1）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]上的值域；
（2）在△ABC中，若f（C）=2，2sinB=cos（A-C）-cos（A+C），求tanA的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

3．（1）化簡：（-2x${\;}^{\frac{1}{4}}$y${\;}^{-\frac{1}{3}}$）（3x${\;}^{-\frac{1}{2}}$y${\;}^{\frac{2}{3}}$）（-4x${\;}^{\frac{1}{4}}$y${\;}^{\frac{2}{3}}$）
（2）計算：（$\frac{27}{8}$）${\;}^{-\frac{2}{3}}$-（$\frac{49}{9}$）0.5+（0.008）${\;}^{-\frac{2}{3}}$×$\frac{2}{25}$．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：填空題

4．如果一系列的函數(shù)滿足：解析式相同，值域相同但定義域不同，則稱這些函數(shù)叫做“孿生函數(shù)”．那么解析式為y=3x2+4，值域為{7，16}的“孿生函數(shù)”共有9個．

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