Question

4．據(jù)俄羅斯新羅西斯克2015年5月17日電 記者吳敏、鄭文達(dá)報(bào)道：當(dāng)?shù)貢r(shí)間17日，參加中俄“海上聯(lián)合-2015（Ⅰ）”軍事演習(xí)的9艘艦艇抵達(dá)地中海預(yù)定海域，混編組成海上聯(lián)合集群．接到命令后我軍在港口M要將一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的俄軍輪船上，在小艇出發(fā)時(shí)，輪船位于港口M北偏西30°且與該港口相距20海里的A處，并正以30海里/小時(shí)的航行速度沿正東方向勻速行駛．假設(shè)該小艇沿直線方向以v海里/小時(shí)的航行速度勻速行駛，經(jīng)過(guò)t小時(shí)與輪船相遇．
（1）若希望相遇時(shí)小艇的航行距離最小，則小艇航行速度的大小應(yīng)為多少？
（2）為保證小艇在30分鐘內(nèi)（含30分鐘）能與輪船相遇，試確定小艇航行速度的最小值并說(shuō)明你的推理過(guò)程；
（3）是否存在v，使得小艇以v海里/小時(shí)的航行速度行駛，總能有兩種不同的航行方向與輪船相遇？若存在，試確定v的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）先假設(shè)相遇時(shí)小艇的航行距離為S，根據(jù)余弦定理可得到關(guān)系式S=$\sqrt{900{t}^{2}-600t+400}$，整理后運(yùn)用二次函數(shù)的性質(zhì)可確定答案．
（2）先假設(shè)小艇與輪船在某處相遇，根據(jù)余弦定理可得到（vt）²=20²+（30t）²-2•20•30t•cos（90°-30°），再由t的范圍可求得v的最小值．
（3）根據(jù)（2）中v與t的關(guān)系式，設(shè)$\frac{1}{t}$=μ，然后代入關(guān)系式整理成400u²-600u+900-v²=0，將問(wèn)題等價(jià)于方程有兩個(gè)不等正根的問(wèn)題，進(jìn)而得解．

解答 解：（1）設(shè)相遇時(shí)小艇航行的距離為S海里，則S=$\sqrt{900{t}^{2}-600t+400}$，
當(dāng)t=$\frac{1}{3}$，S_min=10$\sqrt{3}$，v=30$\sqrt{3}$，
即小艇以30$\sqrt{3}$的速度航行時(shí)，相遇時(shí)小艇航行距離最�。�
（2）設(shè)小艇與輪船在B處相遇．
由題意得（vt）²=20²+（30t）²-1 200t•cos60°，
v²=$\frac{400}{{t}^{2}}$-$\frac{600}{t}$+900=400（$\frac{1}{t}$-$\frac{3}{4}$）²+675．
∵0＜t≤$\frac{1}{2}$，∴$\frac{1}{t}$=2時(shí)，v取得最小值10$\sqrt{13}$．
（3）由（2）知v²=$\frac{400}{{t}^{2}}$-$\frac{600}{t}$+900，設(shè)$\frac{1}{t}$=μ（μ＞0），
∴400μ²-600μ+900-v²=0．
小艇總能有兩種不同的航行方向與輪船相遇，等價(jià)于上述方程應(yīng)有兩個(gè)不等正根，
∴$\left\{\begin{array}{l}{60{0}^{2}-1600（900-{v}^{2}）＞0}\\{900-{v}^{2}＞0}\end{array}\right.$，
解得15$\sqrt{3}$＜v＜30．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查解三角形、二次函數(shù)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力，抽象概括能力、運(yùn)算求解能力、應(yīng)用意識(shí)，考查函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、化歸思想．