Question

8．設(shè)橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的兩個(gè)焦點(diǎn)為F₁，F(xiàn)₂，點(diǎn)B₁為其短軸的一個(gè)端點(diǎn)，滿(mǎn)足$|{\overrightarrow{{B_1}{F_1}}+\overrightarrow{{B_1}{F_2}}}|=2|{\overrightarrow{{B_1}{F_1}}}|+|{\overrightarrow{{B_1}{F_2}}}|=2，\overrightarrow{{B_1}{F_1}}•\overrightarrow{{B_1}{F_2}}$=-2．
（1）求橢圓C的方程；
（2）過(guò)點(diǎn)M（1，0）作兩條互相垂直的直線(xiàn)l₁，l₂，設(shè)l₁與橢圓交于點(diǎn)A，B，與橢圓交于C，D，求$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{DB}$的最小值．

Answer 1

分析 （1）由向量的加法可知丨$\overrightarrow{{B}_{1}{F}_{1}}$+$\overrightarrow{{B}_{1}{F}_{2}}$丨=2b=2，則b=1，則$\overrightarrow{{B}_{1}{F}_{1}}$•$\overrightarrow{{B}_{1}{F}_{2}}$=-c²+b²=-2，求得c，則a²=b²+c²=4，即可求得橢圓方程；
（2）分類(lèi)，直線(xiàn)l₁與x軸重合時(shí)，求得A，B，C和D點(diǎn)坐標(biāo)，即可求得$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{DB}$的值，當(dāng)直線(xiàn)直線(xiàn)l₁不與x軸重合時(shí)，設(shè)直線(xiàn)方程，代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理，向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{DB}$=-$\overrightarrow{MC}$•$\overrightarrow{MD}$-$\overrightarrow{MA}$•$\overrightarrow{MB}$，利用基本不等式的性質(zhì)即可求得$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{DB}$的最小值．

解答 解：（1）不妨設(shè)F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），B₁（0，b），
則丨$\overrightarrow{{B}_{1}{F}_{1}}$+$\overrightarrow{{B}_{1}{F}_{2}}$丨=2b=2，b=1，
則$\overrightarrow{{B}_{1}{F}_{1}}$•$\overrightarrow{{B}_{1}{F}_{2}}$=-c²+b²=-2，則c=$\sqrt{3}$，
a²=b²+c²=4，
∴橢圓C的方程$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$；
（2）當(dāng)直線(xiàn)l₁與x軸重合時(shí)，則A（-2，0），B（2，0），C（1，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），D（1，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$），
則$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{DB}$=3×1×$\frac{\sqrt{3}}{2}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{15}{4}$，
當(dāng)直線(xiàn)直線(xiàn)l₁不與x軸重合時(shí)，設(shè)直線(xiàn)x=my+1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∴$\left\{\begin{array}{l}{x=my+1}\\{{x}^{2}+4{y}^{2}=4}\end{array}\right.$，整理得：（m²+4）y²+2my-3=0，
∴y₁+y₂=-$\frac{2m}{{m}^{2}+4}$，y₁y₂=$\frac{3（{m}^{2}+1）}{{m}^{2}+4}$，
$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{DB}$=（$\overrightarrow{MC}$-$\overrightarrow{MA}$）（$\overrightarrow{MB}$-$\overrightarrow{MD}$）=-$\overrightarrow{MC}$•$\overrightarrow{MD}$-$\overrightarrow{MA}$•$\overrightarrow{MB}$，
$\overrightarrow{MA}$=（x₁-1，y₁）=（my₁，y₁），$\overrightarrow{MB}$=（x₂-1，y₂）=（my₂，y₂），
-$\overrightarrow{MA}$•$\overrightarrow{MB}$=-（m²+1）y₁y₂=$\frac{3（{m}^{2}+1）}{{m}^{2}+4}$，
由直線(xiàn)l₁與直線(xiàn)l₂相互垂直，則-$\overrightarrow{MC}$•$\overrightarrow{MD}$=$\frac{3（1+{m}^{2}）}{1+4{m}^{2}}$，
則$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{DB}$=-$\overrightarrow{MC}$•$\overrightarrow{MD}$-$\overrightarrow{MA}$•$\overrightarrow{MB}$，
=$\frac{3（1+{m}^{2}）}{1+4{m}^{2}}$+$\frac{3（{m}^{2}+1）}{{m}^{2}+4}$=$\frac{15（{m}^{2}+1）^{2}}{（{m}^{2}+4）（1+4{m}^{2}）}$≥$\frac{15（{m}^{2}+1）^{2}}{（\frac{5{m}^{2}+5}{2}）^{2}}$=$\frac{12}{5}$，
當(dāng)且僅當(dāng)m=±1時(shí)，取“=”，
∴$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{DB}$的最小值$\frac{12}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及性質(zhì)，考查直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系，韋達(dá)定理，向量坐標(biāo)運(yùn)算，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．