Question

17．已知函數(shù)y=sin²x+sin2x+3cos²x，求
（1）函數(shù)的最小值及此時(shí)的x的集合；
（2）函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間；
（3）當(dāng)x∈[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}$]時(shí)，求y=f（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）利用二倍角以及輔助角公式基本公式將函數(shù)化為y=Asin（ωx+φ）的形式，結(jié)合三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，求出f（x）的最小值；
（2）將內(nèi)層函數(shù)看作整體，放到正弦函數(shù)的減區(qū)間上，解不等式得函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；
（3）x∈[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}$]時(shí)，求出內(nèi)層函數(shù)的取值范圍，結(jié)合三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，求出f（x）的最大值和最小值，即得到f（x）的值域．

解答 解：（1）函數(shù)y=sin²x+sin2x+3cos²x，
化簡(jiǎn)可得：f（x）=$\frac{1}{2}-\frac{1}{2}$cos2x+sin2x+$\frac{3}{2}$+$\frac{3}{2}$cos2x=sin2x+cos2x+2=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）+2．
∵sin（2x+$\frac{π}{4}$）的最小值為-1．
∴f（x）的最小值為2$-\sqrt{2}$，此時(shí)2x+$\frac{π}{4}$=$-\frac{π}{2}+2kπ$，k∈Z，解得x=$kπ-\frac{3π}{8}$，k∈Z，
∴此時(shí)的x的集合為{x|x=$kπ-\frac{3π}{8}$，k∈Z}．
（2）f（x）=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）+2．
由$\frac{π}{2}+$2kπ≤2x+$\frac{π}{4}$$≤\frac{3π}{2}+2kπ$，
解得：$kπ+\frac{π}{8}$≤x≤$\frac{5π}{8}+kπ$．
∴函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為{x|$kπ+\frac{π}{8}$≤x≤$\frac{5π}{8}+kπ$，k∈Z}
（3）當(dāng)x∈[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}$]時(shí)，可得2x+$\frac{π}{4}$∈[$-\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$]，
∴sin（2x+$\frac{π}{4}$）∈[$-\frac{\sqrt{2}}{2}$，1]．
∴y=f（x）的值域?yàn)閇1，2$+\sqrt{2}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查對(duì)三角函數(shù)的化簡(jiǎn)能力和三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)的運(yùn)用，利用三角函數(shù)公式將函數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)是解決本題的關(guān)鍵．屬于中檔題