Question

校園內(nèi)設(shè)計(jì)修建一個矩形花壇ABCD，并在花壇內(nèi)裝兩個相同的噴水器M、N（如圖），已知噴水器的噴水區(qū)域是半徑為5米的圓，問如何設(shè)計(jì)花壇的長（x）和寬（y）的尺寸及兩個噴水器的位置，才能使花壇的面積最大且全部噴到水？

Answer 1

分析：依題意，如圖可知(

x

4

)2+(

y

2

)2=25，即(

x

2

)2+y2=100，又x，y＞0，s=xy=2•

x

2

•y，由基本不等式即可求得花壇面積的最大值及此時(shí)長（x）和寬（y）的尺寸，噴水器的位置也可由此判斷出．

解答：解：依題意，由圖可知(

x

4

)2+(

y

2

)2=25，即(

x

2

)2+y2=100
又x，y＞0，s=xy=2•

x

2

•y≤(

x

2

)2+y2=100
當(dāng)且僅當(dāng)

x

2

=y即x=10

2

，y=5

2

時(shí)等號成立，
所以花壇的長為10

2

米，寬為5

2

米，兩噴水器位于矩形分成的兩個正方形的中心，就能使花壇的面積最大且能全部噴到水．

點(diǎn)評：本題考查基本不等式在最值問題中的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是理解題意，得出要求最值的函數(shù)解析式及定值有關(guān)的等式，再根據(jù)基本不等式求出符合條件的最值，解決實(shí)際問題，本題的難點(diǎn)是對求最值的函數(shù)進(jìn)行恒等變形，整理成可以利用基本不等式的形式．基本不等式在最值問題中的應(yīng)用很廣泛，要注意總結(jié)它的使用規(guī)律，基本不等式在高考中出現(xiàn)的頻率也很高，是高考命題者比較偏愛的知識點(diǎn)，要好好掌握