Question

19．已知以點(diǎn)C為圓心的圓經(jīng)過點(diǎn)A（-1，0）和B（3，4），且圓心C在直線x+3y-15=0上．
（Ⅰ）求圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)P在圓C上，求△PAB的面積的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）圓心C為AB的垂直平分線和直線x+3y-15的交點(diǎn)，解之可得C（-3，6），由距離公式可得半徑，進(jìn)而可得所求圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)P（-3+2$\sqrt{10}$cosθ，6+2$\sqrt{10}$sinθ），求出AB=4$\sqrt{2}$，直線AB為x-y+1=0，利用點(diǎn)到直線的距離公式及三角函數(shù)性質(zhì)能求出點(diǎn)P（-3+2$\sqrt{10}$cosθ，6+2$\sqrt{10}$sinθ）到直線x-y+1=0的距離的最大值，由此能求出△PAB的面積的最大值．

解答 解：（Ⅰ）題意所求圓的圓心C為AB的垂直平分線和直線x+3y-15=0的交點(diǎn)，
∵AB的中點(diǎn)為（1，2），斜率為k=$\frac{4-0}{3-（-1）}$=1，
∴AB的垂直平分線的方程為y-2=-（x-1），即y=-x+3，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+3}\\{x+3y-15=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-3}\\{y=6}\end{array}\right.$，即圓心C（-3，6），
∴半徑r=$\sqrt{（-1+3）^{2}+（0-6）^{2}}$=2$\sqrt{10}$，
所求圓C的方程為（x+3）²+（y-6）²=40；
（Ⅱ）∵點(diǎn)P在圓C上，設(shè)P（-3+2$\sqrt{10}$cosθ，6+2$\sqrt{10}$sinθ），
∵點(diǎn)A（-1，0）和B（3，4），∴AB=$\sqrt{（3+1）^{2}+（4-0）^{2}}$=4$\sqrt{2}$，
直線AB為：$\frac{y}{x+1}=\frac{4}{3+1}$，即x-y+1=0．
點(diǎn)P（-3+2$\sqrt{10}$cosθ，6+2$\sqrt{10}$sinθ）到直線x-y+1=0的距離：
d=$\frac{|-3+2\sqrt{10}cosθ-6-2\sqrt{10}sinθ+1|}{\sqrt{{1}^{2}+（-1）^{2}}}$=$\frac{|4\sqrt{5}sin（θ+\frac{π}{4}）-8|}{\sqrt{2}}$，
∴當(dāng)$θ+\frac{π}{4}$=$\frac{3π}{2}$時(shí)，d_max=4$\sqrt{2}+2\sqrt{10}$，
∴△PAB的面積的最大值：
S=$\frac{1}{2}×AB×cft3stz_{max}$=$\frac{1}{2}×4\sqrt{2}×（4\sqrt{2}+2\sqrt{10}）$=16+$\sqrt{10}$．

點(diǎn)評 本題考查圓的方程及三角形面積的最大值的求法，考查直線方程、圓、兩點(diǎn)間距離公式、圓的參數(shù)方程等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是中檔題．