Question

10．（1）設函數(shù)$f（x）=\frac{sinθ}{3}{x^3}+\frac{{\sqrt{3}cosθ}}{2}{x^2}+tanθ$，其中$θ∈[{0，\frac{5}{12}π}]$，求導數(shù)f′（1）的取值范圍；
（2）若曲線y=ax²（a＞0）與曲線y=lnx在它們的公共點P（s，t）處具有公共切線，求公共切線的方程．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的導數(shù)，求得f′（1）的表達式，運用輔助角公式化簡，再由正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，即可得到所求范圍；
（2）求導數(shù)，利用曲線y=ax²（a＞0）與曲線y=lnx在它們的公共點P（s，t）處具有公共切線，建立方程組，即可求出a，s，t的值，運用點斜式方程即可得到所求切線的方程．

解答 解：（1）函數(shù)$f（x）=\frac{sinθ}{3}{x^3}+\frac{{\sqrt{3}cosθ}}{2}{x^2}+tanθ$，其中$θ∈[{0，\frac{5}{12}π}]$，
導數(shù)f′（x）=sinθ•x²+$\sqrt{3}$cosθ•x，
可得f′（1）=sinθ+$\sqrt{3}$cosθ=2sin（θ+$\frac{π}{3}$），
由$θ∈[{0，\frac{5}{12}π}]$，可得θ+$\frac{π}{3}$∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{3π}{4}$]，
即有sin（θ+$\frac{π}{3}$）∈[$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1]，
可得導數(shù)f′（1）的取值范圍為[$\sqrt{2}$，2]；
（2）∵y=ax²，
∴y′=2ax，
∵y=lnx，
∴y′=$\frac{1}{x}$；
∵曲線y=ax²（a＞0）與曲線y=lnx在它們的公共點P（s，t）處具有公共切線，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2as=\frac{1}{s}}\\{t=a{s}^{2}=lns}\end{array}\right.$，
∴a=$\frac{1}{2e}$．s=$\sqrt{e}$，t=$\frac{1}{2}$，
可得公共切線的方程為y-$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{\sqrt{e}}$（x-$\sqrt{e}$），
即為2x-2$\sqrt{e}$y-$\sqrt{e}$=0．

點評 本題考查導數(shù)的幾何意義，以及正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，同時考查利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程，考查學生的計算能力，正確求導是關鍵．