Question

6．設(shè)函數(shù)f（x）=|x-a|+|x-2|．
（1）若a=1，解不等式f（x）≤2；
（2）若存在x∈R，使得不等式f（x）≤$\frac{{t}^{2}+4}{t}$對任意t＞0恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）分類討論，利用絕對值的幾何意義得答案；
（Ⅱ）求出f（x）≤$\frac{{t}^{2}+4}{t}$對任意t＞0的最小值，f（x）=|x-a|+|x-2|≥|x-a-x+2|=|a-2|，即f（x）的最小值為|a-2|．即可求得實數(shù)a的取值范圍．

解答 解：（1）當(dāng)a=1，f（x）=|x-1|+|x-2|．
不等式f（x）＞2化為|x-1|+|x-2|≤2．
x＜1時，不等式可化為3-2x≤2，∴x≥$\frac{1}{2}$，∴$\frac{1}{2}$≤x＜1；
1≤x≤2時，不等式可化為1≤2，成立；
x＞2時，不等式可化為2x-3≤2，∴x≤$\frac{5}{2}$，∴2＜x≤$\frac{5}{2}$；
綜上所述，不等式的解集為[$\frac{1}{2}$，$\frac{5}{2}$]；
（2）f（x）=|x-a|+|x-2|≥|x-a-x+2|=|a-2|，即f（x）的最小值為|a-2|．
∵t＞0，$\frac{{t}^{2}+4}{t}$=t+$\frac{4}{t}$≥4，當(dāng)且僅當(dāng)t=2時，$\frac{{t}^{2}+4}{t}$取得最小值4，
由題意，|a-2|≤4，∴-2≤a≤6．

點評 本題考查函數(shù)存在性問題，考查了絕對值不等式的解法，正確理解、運用絕對值的幾何意義是解答該題的關(guān)鍵，是中檔題．