Question

15．在平面直角坐標系xOy中，拋物線C的頂點是原點，以x軸為對稱軸，且經(jīng)過點P（1，2）．
（Ⅰ）求拋物線C的方程；
（Ⅱ）設點A，B在拋物線C上，直線PA，PB分別與y軸交于點M，N，|PM|=|PN|．求直線AB的斜率．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)拋物線C經(jīng)過點P（1，2），求拋物線C的方程；
（Ⅱ）由題意，直線PA與PB的傾斜角互補，所以k_PA+k_PB=0，求出A，B的坐標，即可得出結論．

解答 解：（Ⅰ）依題意，設拋物線C的方程為y²=ax（a≠0）．[（1分）]
由拋物線C經(jīng)過點P（1，2），
得a=4，[（3分）]
所以拋物線C的方程為y²=4x．[（4分）]
（Ⅱ）因為|PM|=|PN|，
所以∠PMN=∠PNM，
所以∠1=∠2，
所以直線PA與PB的傾斜角互補，
所以k_PA+k_PB=0．[（6分）]
依題意，直線AP的斜率存在，設直線AP的方程為：y-2=k（x-1）（k≠0），
將其代入拋物線C的方程，整理得k²x²-2（k²-2k+2）x+k²-4k+4=0．[（8分）]
設A（x₁，y₁），則x₁=$\frac{{k}^{2}-4k+4}{{k}^{2}}$，y₁=$\frac{4}{k}$-2，[（10分）]
所以A（$\frac{{k}^{2}-4k+4}{{k}^{2}}$，$\frac{4}{k}$-2）．[（11分）]
以-k替換點A坐標中的k，得B（$\frac{（k+2）^{2}}{{k}^{2}}$，-$\frac{4}{k}$-2．[（12分）]
所以 k_AB=$\frac{\frac{4}{k}-（-\frac{4}{k}）}{\frac{（k-2）^{2}}{{k}^{2}}-\frac{（k+2）^{2}}{{k}^{2}}}$=-1，
所以直線AB的斜率為-1．[（14分）]

點評 本題考查拋物線的方程，考查直線與拋物線位置關系的運用，考查學生的計算能力，屬于中檔題．