Question

6．已知函數(shù)f（x）=ax³-3x²+1，若f（x）存在2個(gè)零點(diǎn)x₁，x₂，且x₁，x₂都大于0，則a的取值范圍是（0，2）．

Answer 1

分析 通過(guò)a與0的大小討論，利用函數(shù)f（x）=ax³-3x²+1存在兩個(gè)正零點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的極值與0的關(guān)系，然后得到答案．

解答 解：當(dāng)a=0時(shí)，函數(shù)f（x）=-3x²+1有且只有兩個(gè)零點(diǎn)，一個(gè)為正，一個(gè)為負(fù)不滿足條件；
當(dāng)a＞0時(shí)，令f′（x）=3ax²-6x=0，解得：x=0，或x=$\frac{2}{a}$，x=0是極大值點(diǎn)，x=$\frac{2}{a}$是極小值點(diǎn)，
∵f（0）=1≠0，
∴f（$\frac{2}{a}$）=$\frac{{a}^{2}-4}{{a}^{2}}$＜0，
解得：a∈（0，2），
當(dāng)a＜0時(shí)，令f′（x）=3ax²-6x=0，解得：x=0，或x=$\frac{2}{a}$，x=0是極小值點(diǎn)，x=$\frac{2}{a}$是極大值點(diǎn)，
∵f（0）=1＞0，函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)，不滿足題意，
綜上，a∈（0，2）．
給答案為：（0，2）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)的零點(diǎn)及零點(diǎn)個(gè)數(shù)，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查分類討論思想，難度中檔．