Question

7．已知x，y為正實數(shù)，且滿足（xy-1）²=（3y+2）（y-2），則x+$\frac{1}{y}$的最大值為2$\sqrt{2}$-1．

Answer 1

分析 由已知條件可得4=（x-$\frac{1}{y}$）²+（1+$\frac{2}{y}$）²，再根據(jù)基本不等式可得（x+$\frac{1}{y}$+1）²≤8，問題得以解決．

解答 解：∵（xy-1）²=（3y+2）（y-2）=3y²-4y-4，
∴（xy-1）²+（y²+4y+4）=4y²，
∴（xy-1）²+（y+2）²=4y²，
∴4=（x-$\frac{1}{y}$）²+（1+$\frac{2}{y}$）²≥$\frac{1}{2}$（x-$\frac{1}{y}$+1+$\frac{2}{y}$）²，當且僅當x-$\frac{1}{y}$=1+$\frac{2}{y}$時取等號，
∴（x+$\frac{1}{y}$+1）²≤8
∴x+$\frac{1}{y}$+1≤2$\sqrt{2}$，
∴x+$\frac{1}{y}$≤2$\sqrt{2}$-1，
故答案為：2$\sqrt{2}$-1

點評 本題考查了基本不等式的應用，關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化，屬于中檔題．