Question

19．如圖，在實施棚戶區(qū)改造工程中，某居委會決定對AF地段上的危舊房進行推平改建，擬在EF地段上新建一幢居民安置樓，在EF安置樓正南面的AB地段上建一個活動中心，活動中心的側(cè)面圖由兩部分構(gòu)成，下部分ABCD是矩形，上部分是以CD為直徑的半圓O，活動中心的規(guī)劃設(shè)計需滿足以下要求：①AE=30米；②AB≥AD；③當(dāng)?shù)亍白钚惫饩�”與水平線的夾角α滿足tanα=$\frac{3}{4}$，活動中心在當(dāng)?shù)亍白钚惫饩�”照射下落在EF安置樓上的影長GE不超過$\frac{5}{2}$米．
（1）若AD=9米，求其前后寬度AB的最大值；
（2）設(shè)活動中心側(cè)面的面積為S，活動中心的“美觀系數(shù)”K=1-$\frac{S}{\sqrt{AD}}$，那么在用足空間的前提下，當(dāng)門面高AD為多少米時，可使得“美觀系數(shù)”K最大？（參考數(shù)據(jù)：計算中π取3）

Answer 1

分析 （1）如圖所示，以A為坐標原點，AB所在直線為x軸，建立平面直角坐標系，設(shè)AB=2a（$\frac{h}{2}$＜a＜15），AD=h，求出過G的“最斜光線”所在直線方程，要使AB最大，則半圓O與直線l相切，即可求其前后寬度AB的最大值；
（2）確定2a=25-h，求出S，K，利用導(dǎo)數(shù)知識，即可解決．

解答 解：（1）如圖所示，以A為坐標原點，AB所在直線為x軸，建立平面直角坐標系，設(shè)AB=2a（$\frac{h}{2}$＜a＜15），AD=h，
則半圓O的圓心O（a，h），半徑為a．
當(dāng)EG=2.5m時，G（30，2.5），
∵“最斜光線”的斜率為-$\frac{3}{4}$，
∴過G的“最斜光線”所在直線方程為y-2.5=-$\frac{3}{4}$（x-30），即3x+4y-100=0．
由AD=h=9，得圓心O（a，9），要使AB最大，則半圓O與直線l相切，則a=$\frac{|3a+36-100|}{5}$，
∴a=8，
∴前后寬度AB的最大值為16米；
（2）∵要用足空間，∴半圓O與直線l相切，則a=$\frac{|3a+4h-100|}{5}$．
而點O（a，h）在直線l的下方，則3a+4h-100＜0，
∴可得2a=25-h．
由AB≥AD，得25-h≥h，解得0＜h≤12.5．
∵S=2ah+$\frac{1}{2}π{a}^{2}$=$\frac{5}{8}（-{h}^{2}+10h+375）$，
∴K=1-$\frac{S}{\sqrt{AD}}$=$\frac{5}{8}{h}^{\frac{3}{2}}-\frac{25}{4}{h}^{\frac{1}{2}}-\frac{375×5}{8}{h}^{-\frac{1}{2}}+1$，
當(dāng)0＜h≤12.5時，K′=$\frac{5}{16}{h}^{-\frac{3}{2}}（3{h}^{2}-10h+375）＞0$，
∴K在（0，12.5）上單調(diào)遞增，
∴h=12.5時，K取最大值，即門面高AD為12.5米時，可使得“美觀系數(shù)”K最大．

點評 本題考查利用數(shù)學(xué)知識解決實際問題，考查直線與圓的位置關(guān)系，考查導(dǎo)數(shù)知識的運用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．