Question

2．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知A=2B，△ABC的面積S=$\frac{a^2}{4}$，則角A的大小為$\frac{π}{2}$或$\frac{π}{4}$．

Answer 1

分析 由已知利用三角形面積公式，正弦定理，二倍角公式，誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)可得sinC=cosB=sin（$\frac{π}{2}$-B）＞0，可得B為銳角，可得：$\frac{π}{2}$-B=C，或$\frac{π}{2}$-B+C=π，利用三角形內(nèi)角和定理分類討論即可得解A的值．

解答 解：∵S=$\frac{a^2}{4}$，可得：a²=4S=4×$\frac{1}{2}$bcsinA=2bcsinA，
∴利用正弦定理可得：sin²A=2sinBsinCsinA，
∵sinA≠0，
∴sinA=2sinBsinC，
又∵A=2B，即sinA=sin2B=2sinBcosB，
∴2sinBsinC=2sinBcosB，
∴由sinB≠0，可得：sinC=cosB=sin（$\frac{π}{2}$-B）＞0，
∴B為銳角，可得：$\frac{π}{2}$-B=C，或$\frac{π}{2}$-B+C=π，
∴當(dāng)$\frac{π}{2}$-B=C時(shí)，A=π-（B+C）=$\frac{π}{2}$，
當(dāng)$\frac{π}{2}$-B+C=π時(shí)，由A=2B，A+B+C=π，解得：A=$\frac{π}{4}$．
故答案為：$\frac{π}{2}$或$\frac{π}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了三角形面積公式，正弦定理，二倍角公式，誘導(dǎo)公式，三角形內(nèi)角和定理在解三角形中的綜合應(yīng)用，考查了分類討論思想和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．