Question

15．在平面直角坐標系中，已知兩定點E（1，0）、$G（6，\frac{3}{2}）$，⊙C的方程為x²+y²-2mx+（10-2m）y+10m-29=0．當⊙C的半徑取最小值時：
（1）求出此時m的值，并寫出⊙C的標準方程；
（2）在x軸上是否存在異于點E的另外一個點F，使得對于⊙C上任意一點P，總有$\frac{{|{PE}|}}{{|{PF}|}}$為定值？若存在，求出點F的坐標，若不存在，請說明你的理由；
（3）在第（2）問的條件下，求$μ=\frac{{4{{|{PG}|}^2}-{{|{PE}|}^2}-6|{PE}|}}{{2|{PG}|-|{PE}|-3}}-2|{PE}|$的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）運用配方和二次函數的最值求法，即可得到所求圓的方程；
（2）設P（x，y），定點F（m，0）（m為常數），運用兩點的距離公式，化簡整理，再由恒等式的性質，即可得到定點F的坐標和$\frac{{|{PE}|}}{{|{PF}|}}$的定值；
（3）由上問可知對于⊙C上任意一點P總有$|{PF}|=\frac{1}{2}|{PE}|$，可得||PG|-|PF||≤|FG|（當P、F、G三點共線時取等號），又$|{FG}|=\frac{5}{2}$，故2|PG|-|PE|∈[-5，5]．化簡μ的關系式，結合對勾函數的單調性，即可得到所求范圍．

解答 解：（1）⊙C的方程為x²+y²-2mx+（10-2m）y+10m-29=0
可得⊙C的標準式為：（x-m）²+[y-（m-5）]²=2（m-5）²+4，
當m=5時，⊙C的半徑取最小值，此時⊙C的標準方程為（x-5）²+y²=4；
（2）設P（x，y），定點F（m，0）（m為常數），則${λ^2}=\frac{{{{|{PE}|}^2}}}{{{{|{PF}|}^2}}}=\frac{{{{（x-1）}^2}+{y^2}}}{{{{（x-m）}^2}+{y^2}}}$．
∵（x-5）²+y²=4，∴y²=4-（x-5）²，代入上式，
得：${λ^2}=\frac{{{{（x-1）}^2}+4-{{（x-5）}^2}}}{{{{（x-m）}^2}+4-{{（x-5）}^2}}}=\frac{8x-20}{{（10-2m）x-（21-{m^2}）}}$．
由于λ取值與x無關，∴$\frac{8}{10-2m}=\frac{20}{{21-{m^2}}}⇒m=4$（m=1舍去）．
此時點F的坐標為（4，0），λ²=4即λ=2；
（3）由上問可知對于⊙C上任意一點P總有$|{PF}|=\frac{1}{2}|{PE}|$，
故$2|{PG}|-|{PE}|=2（{|{PG}|-\frac{1}{2}|{PE}|}）=2（{|{PG}|-|{PF}|}）$，
而||PG|-|PF||≤|FG|（當P、F、G三點共線時取等號），
又$|{FG}|=\frac{5}{2}$，故2|PG|-|PE|∈[-5，5]．
∴$μ=\frac{{4{{|{PG}|}^2}-{{|{PE}|}^2}-6|{PE}|}}{{2|{PG}|-|{PE}|-3}}-2|{PE}|=\frac{{{{（2|{PG}|）}^2}-{{（|{PE}|+3）}^2}+9}}{{2|{PG}|-|{PE}|-3}}-2|{PE}|$
=$\frac{{（2|{PG}|+|{PE}|+3）（2|{PG}|-|{PE}|-3）+9}}{{2|{PG}|-|{PE}|-3}}-2|{PE}|$
=$（2|{PG}|-|{PE}|-3）+\frac{9}{{2|{PG}|-|{PE}|-3}}+6$，
令t=2|PG|-|PE|-3（t∈[-8，0）∪（0，2]），則$μ=t+\frac{9}{t}+6$，
根據對勾函數的單調性可得：
當0＜t≤2，可得函數遞減，可得μ≥$\frac{25}{2}$；
當-8≤t＜0，可得t+$\frac{9}{t}$+6≤-2$\sqrt{（-t）•\frac{9}{-t}}$+6=0，
可得$μ∈（{-∞，0}]∪[{\frac{25}{2}，+∞}）$．

點評 本題考查圓的方程的一般式和標準式，考查線段長的比為定值的求法，以及實數的取值范圍，注意運用兩點的距離公式和轉化思想，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．