Question

10．已知函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)為f'（x），且$f（x）=-{x^3}+3f'（2）x+\int_0^2{f（x）dx}$，則$\int_0^2{f（x）dx}$=-32．

Answer 1

分析 設(shè)$\int_0^2{f（x）dx}=a$，根據(jù)導(dǎo)數(shù)得運(yùn)算法則，求出函數(shù)f（x）的表達(dá)式，再根據(jù)定積分的計(jì)算法則即可求出

解答 解：設(shè)$\int_0^2{f（x）dx}=a$，則f（x）=-x³+3f'（2）x+a，所以，f'（x）=-3x²+3f'（2），
令x=2，求得f'（2）=6，故f（x）=-x³+18x+a，
因此，$\int_0^2{f（x）dx}=\int_0^2{（-{x^3}+18x+a）dx=（-\frac{1}{4}{x^4}+9{x^2}+ax）|_0^2=32+2a}$，
則有32+2a=a，得a=-32．
故答案為：-32．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則和定積分的計(jì)算，屬于中檔題