Question

19．如圖，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，A₁B⊥平面ABC，且AB⊥AC．
（1）求證：AC⊥BB₁；
（2）若AB=AC=A₁B=2，M為B₁C₁的中點，求二面角M-AB-A₁平面角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）推導出A₁B⊥AC，AB⊥AC，從而AC⊥平面A₁ABB₁，由此能證明AC⊥BB₁．
（2）過點A作AY∥A₁B，以射線AB，AC，AY為x，y，z正半軸建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角M-AB-A₁平面角的余弦值．

解答 證明：（1）∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，A₁B⊥平面ABC，
∴A₁B⊥AC，∵AB⊥AC，A₁B∩AB=B，
∴AC⊥平面A₁ABB₁，
∵BB₁?平面A₁ABB₁，∴AC⊥BB₁．
解：（2）過點A作AY∥A₁B，
∵A₁B⊥平面ABC，∴AY⊥平面ABC，
又AB⊥AC，以射線AB，AC，AY為x，y，z正半軸建立空間直角坐標系，
由AB=AC=A₁B=2，得A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，2，0），A₁（2，0，2），
由$\overrightarrow{B{B_1}}=\overrightarrow{C{C_1}}=（2，0，2）$，得B₁（4，0，2），C₁（2，2，2），M為B₁C₁的中點，
M（3，1，2），$\overrightarrow{AM}=（3，1，2），\overrightarrow{AB}=（2，0，0）$，
設平在ABM的法向量$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AM}=3x+y+2z=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AB}=2x=0}\end{array}\right.$，取y=2，得平面ABM的法向量$\overrightarrow m=（0，2，-1）$，
$\overrightarrow{A{A_1}}=（2，0，2），\overrightarrow{AB}=（2，0，0）$，平面ABA₁的法向量$\overrightarrow n=（0，1，0）$，
∴$cos\left?{\overrightarrow m，\overrightarrow n}\right＞=\frac{\overrightarrow m•\overrightarrow n}{{|{\overrightarrow m}|•|{\overrightarrow n}|}}=\frac{2}{{1•\sqrt{5}}}=\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$，
設二面角M-AB-A₁的平面角為θ，由圖知θ銳角，
∴二面角M-AB-A₁平面角的余弦值為$cosθ=\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$．

點評 本題考查線線垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關系等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力、空間想象能力，考查化歸與轉化思想，是中檔題．