Question

9．已知定義在R上的函數(shù)f（x）=2017^x+ln（$\sqrt{{x}^{2}+1}$+x）-2017^-x+2018，若對(duì)任意的x∈R，不等式f（3x-2）+f（x）＞4036恒成立，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是（$\frac{1}{2}$，+∞）．

Answer 1

分析 令g（x）=f（x）-2018，則g（x）為奇函數(shù)且為增函數(shù)，于是不等式等價(jià)于g（3x-2）＞g（-x），從而3x-2＞-x．

解答 解：設(shè)g（x）=f（x）-2018=2017^x+ln（$\sqrt{{x}^{2}+1}+x$）-2017^-x，
則g（-x）=2017^-x+ln（$\sqrt{{x}^{2}+1}$-x）-2017^x=2017^-x-ln（$\sqrt{{x}^{2}+1}$+x）-2017^x=-g（x），
∴g（x）是奇函數(shù)．
∵g（x）=2017^x+ln（$\sqrt{{x}^{2}+1}+x$）-2017^-x在（0，+∞）上是增函數(shù)，
∴g（x）在R上是函數(shù)．
∵f（3x-2）+f（x）＞4036，即f（3x-2）-2018＞2018-f（x），
∴g（3x-2）＞-g（x）=g（-x），
∴3x-2＞-x，解得x＞$\frac{1}{2}$．
故答案為：（$\frac{1}{2}$，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)奇偶性的判斷，函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，屬于中檔題．