Question

2．已知f（x）、g（x）都是定義在R上的函數(shù)，g（x）≠0，f'（x）g（x）＜f（x）g'（x），f（x）=a^xg（x），$\frac{f（1）}{g（1）}+\frac{f（-1）}{g（-1）}=\frac{5}{2}$，在有窮數(shù)列$\left\{{\frac{f（n）}{g（n）}}\right\}$（n=1，2，…，10）中，任意取前k項(xiàng)相加，則前k項(xiàng)和不小于$\frac{63}{64}$的k的取值范圍是（　　）

• A． [6，10]且k∈N^*
• B． （6，10]且k∈N^*
• C． [5，10]且k∈N^*
• D． [1，6]且k∈N^*

Answer 1

分析 令h（x）=$\frac{f（x）}{g（x）}$，由題意f'（x）g（x）＜f（x）g'（x），f（x）=a^xg（x）可知0＜a＜1，由$\frac{f（1）}{g（1）}+\frac{f（-1）}{g（-1）}=\frac{5}{2}$，可知a=$\frac{1}{2}$，由此可知S_n的表達(dá)式，得到前k項(xiàng)和不小于$\frac{63}{64}$的k的取值范圍．

解答 解：令h（x）=$\frac{f（x）}{g（x）}$=a^x，由題意f'（x）g（x）＜f（x）g'（x），得到h'（x）=$\frac{f'（x）g（x）-f（x）g'（x）}{{g}^{2}（x）}$，可知0＜a＜1，由$\frac{f（1）}{g（1）}+\frac{f（-1）}{g（-1）}=\frac{5}{2}$，可知a=$\frac{1}{2}$，
故h（x）=a^x單調(diào)遞減，所以0＜a＜1，
則有窮數(shù)列$\left\{{\frac{f（n）}{g（n）}}\right\}$即{$\frac{1}{{2}^{n}}$}（n=1，2，…，10）中，
其前n項(xiàng)和S_n=1-$\frac{1}{{2}^{n}}$，所以1-$\frac{1}{{2}^{k}}$$≥\frac{63}{64}$，解得k≥6，所以前k項(xiàng)和不小于$\frac{63}{64}$的k的取值范圍是[6，10]且k∈N；
故選A．

點(diǎn)評 本題考查概率的求法和導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)，解題時(shí)要注意公式的靈活運(yùn)用．