Question

17．已知函數(shù)$f（x）=alnx-\frac{1}{2}{x^2}+x$，$g（x）=\frac{1}{2}{x^2}-2x+1$．
（Ⅰ）當(dāng)a=2時(shí)，求f（x）在x∈[1，e²]時(shí)的最值（參考數(shù)據(jù)：e²≈7.4）；
（Ⅱ）若?x∈（0，+∞），有f（x）+g（x）≤0恒成立，求實(shí)數(shù)a的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）當(dāng)a=2時(shí)，求出$f'（x）=\frac{2}{x}-x+1=\frac{-（x-2）（x+1）}{x}$，x＞0，由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出f（x）在x∈[1，e²]時(shí)的最值．
（Ⅱ）令h（x）=f（x）+g（x）=alnx-x+1，則$h'（x）=\frac{a}{x}-1=\frac{a-x}{x}$，當(dāng)a≤0時(shí)，不滿足條件；當(dāng)a＞0時(shí)，h（x）_max=h（a）=alna-a+1≤0，令g（a）=alna-a+1，（a＞0），則g'（a）=lna，g（a）_min=g（1）=0，由此能求出a．

解答 解：（Ⅰ）∵當(dāng)a=2時(shí)，$f（x）=2lnx-\frac{1}{2}{x^2}+x$，
∴$f'（x）=\frac{2}{x}-x+1=\frac{-（x-2）（x+1）}{x}$，x＞0，
當(dāng)1＜x＜2時(shí)，f′（x）＞0，得-1＜x＜2，當(dāng)2＜x＜e²時(shí)，f′（x）＜0，
∴函數(shù)f（x）在[1，2]為增函數(shù)，在[2，e²]為減函數(shù)．
∴f（x）_max=f（2）=2ln2．
$f{（x）_{min}}=min\{f（1），f（{e^2}）\}=min\{\frac{1}{2}，4+{e^2}-\frac{1}{2}{e^4}\}=4+{e^2}-\frac{1}{2}{e^4}$．
（Ⅱ）令h（x）=f（x）+g（x）=alnx-x+1，則$h'（x）=\frac{a}{x}-1=\frac{a-x}{x}$，
（1）當(dāng)a≤0時(shí)，h（x）在（0，+∞）上為減函數(shù)，而h（1）=0，
∴h（x）≤0在區(qū)間x∈（0，+∞）上不可能恒成立，因此a≤0不滿足條件．
（2）當(dāng)a＞0時(shí)，h（x）在（0，a）上遞增，在（a，+∞）上遞減，
∴h（x）_max=h（a）=alna-a+1．
∵h(yuǎn)（x）≤0在x∈（0，+∞）恒成立，∴h（x）_max≤0．即alna-a+1≤0．
令g（a）=alna-a+1，（a＞0），則g'（a）=lna，
∴g（a）在（0，1）上遞減，在（1，+∞）上遞增，
∴g（a）_min=g（1）=0，故a=1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)在閉區(qū)間上的最值的求法，考查滿足條件的實(shí)數(shù)值的求法，考查導(dǎo)數(shù)性質(zhì)、構(gòu)造法、函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值、最值等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，考查創(chuàng)新意識(shí)、應(yīng)用意識(shí)，是中檔題．