Question

7．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，F(xiàn)是拋物線C：y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)，M是拋物線C上的任意一點(diǎn)，當(dāng)M位于第一象限內(nèi)時，△OFM外接圓的圓心到拋物線C準(zhǔn)線的距離為$\frac{3}{2}$．
（1）求拋物線C的方程；
（2）過K（-1，0）的直線l交拋物線C于A，B兩點(diǎn)，且$\overrightarrow{KA}=λ\overrightarrow{KB}（λ∈[2，3]）$，點(diǎn)G為x軸上一點(diǎn)，且|GA|=|GB|，求點(diǎn)G的橫坐標(biāo)x₀的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求得拋物線的焦點(diǎn)和準(zhǔn)線方程，點(diǎn)Q在FO的垂直平分線上，運(yùn)用點(diǎn)到直線的距離，解方程可得p，進(jìn)而得到所求拋物線的方程；
（2）設(shè)A，B的坐標(biāo)，運(yùn)用向量的坐標(biāo)運(yùn)算，設(shè)直線l：x=my-1，并代入到y(tǒng)²=4x中，運(yùn)用韋達(dá)定理，可得m和λ，運(yùn)用對勾函數(shù)的單調(diào)性，可得4m²的范圍，求出AB的垂直平分線方程，令y=0，結(jié)合不等式的性質(zhì)，即可得到所求范圍．

解答 解：（1）F是拋物線C：y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)（$\frac{p}{2}$，0），
根據(jù)題意，點(diǎn)Q在FO的垂直平分線上，
所以點(diǎn)Q到準(zhǔn)線x=-$\frac{p}{2}$的距離為$\frac{p}{4}+\frac{p}{2}=\frac{3}{2}⇒p=2$，
所以C：y²=4x．
（2）設(shè)$A（{x_1}，{y_1}），B（{x_2}，{y_2}），\overrightarrow{KA}=λ\overrightarrow{KB}⇒{y_1}=λ{(lán)y_2}$，①
設(shè)直線l：x=my-1代入到y(tǒng)²=4x中得y²-4my+4=0，
所以y₁+y₂=4m，y₁y₂=4，②
由①②可得4m²=$\frac{（1+λ）^{2}}{λ}$=λ+$\frac{1}{λ}$+2，
由2≤λ≤3可得y=λ+$\frac{1}{λ}$+2遞增，即有4m²∈[$\frac{9}{2}$，$\frac{16}{3}$]，
又AB中點(diǎn)（2m²-1，2m），
所以直線AB的垂直平分線的方程為y-2m=-m（x-2m²+1），
令y=0，
可得${x_0}=2{m^2}+1∈[\frac{13}{4}，\frac{11}{3}]$．

點(diǎn)評 本題考查拋物線的方程的求法，注意運(yùn)用拋物線的性質(zhì)，三角形的外心的性質(zhì)，考查聯(lián)立直線方程和拋物線的方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和向量的坐標(biāo)運(yùn)算，以及對勾函數(shù)的單調(diào)性，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．