15.已知點O、N、P在三角形ABC所在平面內(nèi),且|$\overrightarrow{OA}$|=|$\overrightarrow{OB}$|=|$\overrightarrow{OC}$|,$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$=$\overrightarrow{PB}•\overrightarrow{PC}$=$\overrightarrow{PC}•\overrightarrow{PA}$,則點O、N、P依次是三角形ABC的( 。
A.重心、外心、垂心B.重心、外心、內(nèi)心C.外心、重心、垂心D.外心、重心、內(nèi)心

分析 由|$\overrightarrow{OA}$|=|$\overrightarrow{OB}$|=|$\overrightarrow{OC}$|,得到O是三角形的外心,只要判斷第三個條件可以得到三角形的內(nèi)心或垂心就可以,由$|\overrightarrow{PA}|•|\overrightarrow{PB}|$=$\overrightarrow{PB}•\overrightarrow{PC}$=$\overrightarrow{PC}•\overrightarrow{PA}$,得到$\overrightarrow{PB}$⊥$\overrightarrow{CA}$,同理得到另外兩個向量都與邊垂直,從而P是三角形的垂心.

解答 解:|$\overrightarrow{OA}$|=|$\overrightarrow{OB}$|=|$\overrightarrow{OC}$|,∴O到三角形三個頂點的距離相等,
∴O是三角形的外心,
根據(jù)所給的四個選項,第一個判斷為外心的只有C,D兩個選項,
∴只要判斷第三個條件可以得到三角形的內(nèi)心或垂心就可以,
∵$|\overrightarrow{PA}|•|\overrightarrow{PB}|$=$\overrightarrow{PB}•\overrightarrow{PC}$=$\overrightarrow{PC}•\overrightarrow{PA}$,
∴$\overrightarrow{PB}$•($\overrightarrow{PA}-\overrightarrow{PC}$)=0,∴$\overrightarrow{PB}•\overrightarrow{CA}$=0,
∴$\overrightarrow{PB}$⊥$\overrightarrow{CA}$,同理得到另外兩個向量都與邊垂直,
∴P是三角形的垂心.
故選:C.

點評 本題考查三角形的重心、外心、垂心的判斷,涉及到向量、三角形五心等基礎(chǔ)知識,考查推理論證能力、運算求解能力,考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想,是中檔題.

練習冊系列答案
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

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(1)試根據(jù)頻率分布直方圖估計小區(qū)平均每戶居民的平均損失;
(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表);
(2)小明向班級同學發(fā)出倡議,為該小區(qū)居民捐款,現(xiàn)從損失超過6000元的居民中隨機抽出2戶進行捐款援助,求抽出的2戶居民損失均超過8000元的概率;
(3)臺風后區(qū)委會號召該小區(qū)居民為臺風重災(zāi)區(qū)捐款,小明調(diào)查的50戶居民捐款情況如表,在圖2表格空白外填寫正確數(shù)字,并說明是否有95%以上的把握認為捐款數(shù)額超過或不超過500元和自身經(jīng)濟損失是否超過4000元有關(guān)?
經(jīng)濟損失不超過4000元經(jīng)濟損失超過4000元合計
捐款超過500元30
捐款不超過500元6
合計
附:臨界值參考公式:${K^2}=\frac{{n{{(ad-bc)}^2}}}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$,n=a+b+c+d.
P(K2≥k)0.150.100.050.0250.0100.0050.001
k02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

20.已知函數(shù)f(x)=2|x+a|+|x-$\frac{1}{a}$|(a≠0).
(1)當a=1時,解不等式f(x)<4;
(2)求函數(shù)g(x)=f(x)+f(-x)的最小值.

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3.如圖,在△ABC中,AD⊥AB,$\overrightarrow{BC}$=$\sqrt{2}$$\overrightarrow{BD}$,|$\overrightarrow{AD}$|=2,則$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{AD}$=4$\sqrt{2}$.

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20.執(zhí)行如圖所示的程序框圖,則輸出m=( 。
A.2.25B.2.5C.2.625D.2.75

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4.某程序框圖如圖所示,若該程序運行后輸出的值是$\frac{7}{4}$,則a=3

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