Question

3．已知函數(shù)f（x）=ax+lnx．
（Ⅰ）若f（x）在區(qū)間（0，1）上單調(diào)遞增，求實數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ）設(shè)函數(shù)h（x）=-$\frac{1}{2}$x²-f（x）有兩個極值點x₁、x₂，且x₁∈[$\frac{1}{2}$，1），求證：|h（x₁）-h（x₂）|＜2-ln2．

Answer 1

分析 （I）令f′（x）≥0在（0，1）上恒成立，使用分離參數(shù)法求出a的范圍；
（II）令h′（x）=0，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)和極值點的定義可判斷h（x₁）＜h（x₂），根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系化簡|h（x₁）-h（x₂）|=-$\frac{1}{2}$x₁²+$\frac{1}{2{{x}_{1}}^{2}}$+2lnx₁，求出右側(cè)函數(shù)的最大值即可證明結(jié)論．

解答 解：（I）∵f（x）在區(qū)間（0，1）上單調(diào)遞增，
∴f′（x）=a+$\frac{1}{x}$≥0，x∈（0，1），
即a$≥-\frac{1}{x}$，
∵x∈（0，1），∴-$\frac{1}{x}$＜-1，
∴a≥-1．
（II）證明：h（x）=-$\frac{1}{2}{x}^{2}$-ax-lnx，h′（x）=-x-a-$\frac{1}{x}$，x∈（0，+∞）．
令h′（x）=0得x²+ax+1=0，
∵函數(shù)h（x）=-$\frac{1}{2}$x²-f（x）有兩個極值點x₁、x₂，且x₁∈[$\frac{1}{2}$，1），
∴方程x²+ax+1=0有兩解x₁、x₂，且x₁∈[$\frac{1}{2}$，1），
∴x₁•x₂=1，x₁+x₂=-a，且ax₁=-1-x₁²，ax₂=-1-x₂²，x₂∈（1，2]．
∴當0＜x＜x₁時，h′（x）＜0，當x₁＜x＜x₂時，h′（x）＞0，當x＞x₂時，h′（x）＜0，
∴x₁為h（x）的極小值點，x₂為h（x）的極大值點，
∴|h（x₁）-h（x₂）|=h（x₂）-h（x₁）=-$\frac{1}{2}$x₂²-ax₂-lnx₂+$\frac{1}{2}$x₁²+ax₁+lnx₁
=$\frac{1}{2}$x₂²-$\frac{1}{2}$x₁²+ln$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$=-$\frac{1}{2}$x₁²+$\frac{1}{2{{x}_{1}}^{2}}$+2lnx₁，
令H（x₁）=-$\frac{1}{2}$x₁²+$\frac{1}{2{{x}_{1}}^{2}}$+2lnx₁，
則H′（x₁）=-x₁-$\frac{1}{{{x}_{1}}^{3}}$+$\frac{2}{{x}_{1}}$=$\frac{-{{x}_{1}}^{4}+2{{x}_{1}}^{2}-1}{{{x}_{1}}^{3}}$=-$\frac{（{{x}_{1}}^{2}-1）^{2}}{{{x}_{1}}^{3}}$＜0，
∴H（x₁）在[$\frac{1}{2}$，0）上是減函數(shù)，
∴H（x₁）≤H（$\frac{1}{2}$）=$\frac{15}{8}$-2ln2＜2-ln2，
即|h（x₁）-h（x₂）|＜2-ln2．

點評 本題考查了導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，函數(shù)極值的判斷，函數(shù)恒成立問題研究，屬于難題．