Question

3．已知M，F(xiàn)為橢圓的$C：\frac{x^2}{20}+\frac{y^2}{16}=1$的上頂點(diǎn)和右焦點(diǎn)，直線l與橢圓C交與A，B兩點(diǎn)，且三角形△MAB的重心恰為F，則直線l的方程為6x-5y-28=0．

Answer 1

分析 設(shè)B（x₁，y₁），A（x₂，y₂），求出橢圓的右焦點(diǎn)為（2，0），利用三角形的重心坐標(biāo)，推出x₁+x₂=6，y₁+y₂=-4，利用平方差法，求出直線的斜率，求出直線的中點(diǎn)坐標(biāo)，利用點(diǎn)斜式求解直線方程．

解答 解：設(shè)B（x₁，y₁），A（x₂，y₂），橢圓的$C：\frac{x^2}{20}+\frac{y^2}{16}=1$的右焦點(diǎn)為（2，0）
∵點(diǎn)M（0，4），且橢圓右焦點(diǎn)F₂恰為△ABC的重心
∴$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}+0}{3}=2$，$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}+4}{2}=0$
∴x₁+x₂=6，y₁+y₂=-4     ①
∵$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{20}+\frac{{{y}_{1}}^{2}}{16}=1$，$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{20}+\frac{{{y}_{2}}^{2}}{16}=1$
∴兩式相減得：$\frac{（{x}_{1}+{x}_{2}）（{x}_{1}-{x}_{2}）}{20}+\frac{（{y}_{1}+{y}_{2}）（{y}_{1}+{y}_{2}）}{16}=0$，
將①代入得：$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=$\frac{6}{5}$，即直線l的斜率為k=$\frac{6}{5}$
∵直線l 過BA中點(diǎn)（3，-2）
∴直線l的方程為y+2=$\frac{6}{5}$（x-3）
故答案為：6x-5y-28=0．

點(diǎn)評 本題考查直線與橢圓方程的綜合應(yīng)用，點(diǎn)差法的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力．