Question

15．如圖已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，以橢圓的左頂點(diǎn)T為圓心作圓T：（x+2）²+y²=r²（r＞0），設(shè)圓T與橢圓C交于點(diǎn)M，N．
（1）求橢圓C的方程；
（2）求$\overrightarrow{TM}$•$\overrightarrow{TN}$的最小值，并求此時(shí)圓T的方程．

Answer 1

分析 （1）運(yùn)用橢圓的離心率公式和頂點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合a，b，c的關(guān)系，可得橢圓方程；
（2）設(shè)M（m，n），由對(duì)稱性可得N（m，-n），代入橢圓方程，再由向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，轉(zhuǎn)化為關(guān)于m的二次函數(shù)，配方，結(jié)合橢圓的范圍，可得最小值，進(jìn)而得到M的坐標(biāo)，可得圓的方程．

解答 解：（1）由題意可得e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，橢圓的左頂點(diǎn)T（-2，0），
可得a=2，c=$\sqrt{3}$，b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$=1，
則橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1；
（2）設(shè)M（m，n），由對(duì)稱性可得N（m，-n），
即有$\frac{{m}^{2}}{4}$+n²=1，
則$\overrightarrow{TM}$•$\overrightarrow{TN}$=（m+2，n）•（m+2，-n）=（m+2）²-n²=（m+2）²-1+$\frac{{m}^{2}}{4}$=$\frac{5}{4}$m²+4m+3
=$\frac{5}{4}$（m+$\frac{8}{5}$）²-$\frac{1}{5}$，
由-2≤m≤2，可得m=-$\frac{8}{5}$時(shí)，$\overrightarrow{TM}$•$\overrightarrow{TN}$的最小值為-$\frac{1}{5}$，
此時(shí)n²=$\frac{9}{25}$，
即有r²=（m+2）²+n²=$\frac{13}{25}$，
可得圓T的方程（x+2）²+y²=$\frac{13}{25}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓方程的求法，注意運(yùn)用離心率公式，考查向量數(shù)量積的最小值，注意運(yùn)用二次函數(shù)的最值求法和橢圓的性質(zhì)，考查化簡整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．