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16.(文)點P是橢圓$\frac{{x}^{2}}{5}+\frac{{y}^{2}}{4}$=1上的一點,F(xiàn)1,F(xiàn)2是左右焦點,且∠F1PF2=30°,求△F1PF2的面積.

分析 由橢圓的性質可知:|F1P|+|PF2|=2$\sqrt{5}$,|F1F2|=2;由余弦定理可知:|F1F2|2=|F1P|2+|PF2|2-2|F1P||PF2|cos30°,求得|F1P||PF2|=16(2-$\sqrt{3}$),由三角形的面積公式S=$\frac{1}{2}$|F1P||PF2|•sin30°,即可求得△F1PF2的面積.

解答 解:由題意,橢圓方程$\frac{{x}^{2}}{5}+\frac{{y}^{2}}{4}$=1,a=$\sqrt{5}$,b=2,c=1
|F1P|+|PF2|=2$\sqrt{5}$,|F1F2|=2;
則由余弦定理得,
|F1F2|2=|F1P|2+|PF2|2-2|F1P||PF2|cos30°;
故4=(|F1P|+|PF2|)2-2|F1P||PF2|cos30°-2|F1P||PF2|;
故4=16-|F1P||PF2|($\frac{\sqrt{3}}{2}$+2);
故|F1P||PF2|=16(2-$\sqrt{3}$)
故△PF1F2的面積S=$\frac{1}{2}$|F1P||PF2|•sin30°
=8-4$\sqrt{3}$;
△F1PF2的面積8-4$\sqrt{3}$.

點評 本題考查橢圓的標準方程,余弦定理及三角形的面積公式,考查計算能力,屬于中檔題.

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