Question

16．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=m+\sqrt{2}t}\\{y=\sqrt{2}t}\end{array}\right.$ （t為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ²=$\frac{4}{1+si{n}^{2}θ}$，且直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)F（-$\sqrt{2}$，0）
（ I ）求曲線C的直角坐標(biāo)方程和直線l的普通方程；
（Ⅱ）設(shè)曲線C的內(nèi)接矩形的周長(zhǎng)為L(zhǎng)，求L的最大值．

Answer 1

分析 （ I ）利用ρ²=x²+y²，ρsinθ=y，將曲線C轉(zhuǎn)化成直角坐標(biāo)方程；則直線l的普通方程x-y=m，將F代入直線方程，即可求得m，求得直線l的普通方程；
（Ⅱ）由（ I ）可知：設(shè)橢圓C的內(nèi)接矩形在第一象限的頂點(diǎn)（2cosθ，$\sqrt{2}$sinθ），則L=2（4cosθ+2$\sqrt{2}$sinθ）=4$\sqrt{6}$sin（θ+φ），根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)，即可求得L的最大值．

解答 解：（ I ）由曲線C的極坐標(biāo)方程：ρ²=$\frac{4}{1+si{n}^{2}θ}$，即ρ²+ρ²sin²θ=4，
將ρ²=x²+y²，ρsinθ=y，代入上式，化簡(jiǎn)整理得：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$；
直線l的普通方程為x-y=m，將F代入直線方程，則m=$\sqrt{2}$，
∴直線l的普通方程為x-y+$\sqrt{2}$=0；
（Ⅱ）設(shè)橢圓C的內(nèi)接矩形在第一象限的頂點(diǎn)（2cosθ，$\sqrt{2}$sinθ），（0＜θ＜$\frac{π}{2}$），
∴橢圓C的內(nèi)接矩形的周長(zhǎng)L=2（4cosθ+2$\sqrt{2}$sinθ）=4$\sqrt{6}$sin（θ+φ），tanφ=$\sqrt{2}$，
∴曲線C的內(nèi)接矩形的周長(zhǎng)為L(zhǎng)的最值為4$\sqrt{6}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查參數(shù)方程與普通方程的轉(zhuǎn)化，橢圓的極坐標(biāo)方程及參數(shù)方程的應(yīng)用，考查輔助角公式的應(yīng)用，正弦函數(shù)的最值，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．