Question

4．曲線C：ρ²-2ρcosθ-8=0  曲線E：$\left\{\begin{array}{l}{x=t+2}\\{y=kt+1}\end{array}\right.$（t是參數(shù)）
（1）求曲線C的普通方程，并指出它是什么曲線．
（2）當(dāng)k變化時(shí)指出曲線K是什么曲線以及它恒過的定點(diǎn)并求曲線E截曲線C所得弦長(zhǎng)的最小值．

Answer 1

分析 （1）利用極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的轉(zhuǎn)化方法，求曲線C的普通方程，即可指出它是什么曲線．
（2）當(dāng)直線E與圓心連線垂直時(shí)弦長(zhǎng)最小，利用勾股定理可得結(jié)論．

解答 解：（1）∵曲線C：ρ²-2ρcosθ-8=0，
∴x+y-2x-8=0，
∴（x-1）²+y²=9，
表示圓心（1，0）半徑為3的圓；
（2）曲線E：$\left\{\begin{array}{l}{x=t+2}\\{y=kt+1}\end{array}\right.$消去參數(shù)得y-1=k（x-2）m是一條恒過定點(diǎn)（2，1）的直線（但不包括x=2），當(dāng)直線E與圓心連線垂直時(shí)弦長(zhǎng)最小，
設(shè)圓心到直線E的距離為d，則d=$\sqrt{2}$，所以弦長(zhǎng)的最小值=2$\sqrt{9-2}$=2$\sqrt{7}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的轉(zhuǎn)化，考查直線過定點(diǎn)，考查直線與圓的位置關(guān)系，屬于中檔題．