Question

19．設(shè)橢圓$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1在y軸正半軸上的頂點(diǎn)為M，右焦點(diǎn)為F，延長(zhǎng)線段MF與橢圓交于N．
（1）求直線MF的方程；
（2）求$\frac{|MF|}{|FN|}$的值．

Answer 1

分析 （1）通過(guò)橢圓方程可知M（0，1）、F（1，0），進(jìn)而利用兩點(diǎn)式可得方程；
（2）聯(lián)立直線MF與橢圓方程，利用韋達(dá)定理可知y_N，利用距離公式或相似比計(jì)算即得結(jié)論．

解答 解：（1）依題意橢圓$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1，M（0，1），F(xiàn)（1，0），
∴直線MF的方程為：$\frac{y-0}{x-1}$=$\frac{1-0}{0-1}$，
整理得：x+y-1=0；
（2）聯(lián)立直線MF與橢圓方程，
消去x整理得：3y²-2y-1=0．
由韋達(dá)定理可知：1+y_N=$\frac{2}{3}$，即y_N=-$\frac{1}{3}$，x_N=$\frac{4}{3}$
$\frac{|MF|}{|FN|}$=$\frac{{y}_{M}}{-{y}_{N}}$=$\frac{1}{\frac{1}{3}}$=3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)，涉及直線方程、三角形面積公式等基礎(chǔ)知識(shí)，注意解題方法的積累，屬于中檔題．