Question

19．如圖，在四棱錐A-BDEC中，AD⊥平面BDEC，底面BDEC為直角梯形，∠BDE=90°，BC∥DE，AD=DB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，BC=2DE=1，
（Ⅰ）求證：面ADC⊥面ABE；
（Ⅱ）求點E到平面ABC的距離．

Answer 1

分析 （1）以D為坐標原點建立空間直角坐標系，根據(jù)各邊長度求出各點坐標，求出平面ADC和面ABE的法向量，將問題轉(zhuǎn)化為證明兩個平面的法向量垂直；
（2）求出平面ABC的法向量，則E到平面ABC的距離為$\overrightarrow{BE}$在平面ABC的法向量上的投影的絕對值．

解答 證明：（1）以D為坐標原點建立如圖所示的空間直角坐標系，
∵AD=DB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，BC=2DE=1，∴A（0，0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），B（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，0，0），C（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1，0），D（0，0，0），E（0，$\frac{1}{2}$，0）．
∴$\overrightarrow{DA}$=（0，0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），$\overrightarrow{DC}$=（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1，0），$\overrightarrow{BA}$=（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），$\overrightarrow{BE}$=（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{1}{2}$，0）．
設(shè)平面ADC的法向量為$\overrightarrow{{n}_{1}}$=（x，y，z），平面ABE的法向量為$\overrightarrow{{n}_{2}}$=（a，b，c），
則$\overrightarrow{{n}_{1}}⊥\overrightarrow{DA}$，$\overrightarrow{{n}_{1}}⊥\overrightarrow{DC}$，$\overrightarrow{{n}_{2}}⊥\overrightarrow{BA}$，$\overrightarrow{{n}_{2}}⊥\overrightarrow{BE}$．
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{\sqrt{2}}{2}z=0}\\{\frac{\sqrt{2}}{2}x+y=0}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{\sqrt{2}}{2}a+\frac{\sqrt{2}}{2}c=0}\\{-\frac{\sqrt{2}}{2}a+\frac{1}{2}b=0}\end{array}\right.$，
令x=$\sqrt{2}$得$\overrightarrow{{n}_{1}}$=（$\sqrt{2}$，-1，0），令c=1得$\overrightarrow{{n}_{2}}$=（1，$\sqrt{2}$，1）．
∴$\overrightarrow{{n}_{1}}•\overrightarrow{{n}_{2}}$=$\sqrt{2}-\sqrt{2}+0$=0，
∴面ADC⊥面ABE．
（2）$\overrightarrow{BC}$=（0，1，0），
設(shè)平面ABC的法向量為$\overrightarrow{{n}_{3}}$=（x，y，z），則$\overrightarrow{{n}_{3}}⊥\overrightarrow{BA}$，$\overrightarrow{{n}_{3}}⊥\overrightarrow{BC}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{\sqrt{2}}{2}x+\frac{\sqrt{2}}{2}z=0}\\{y=0}\end{array}\right.$，令z=1得$\overrightarrow{{n}_{3}}$=（1，0，1）．
∴$\overrightarrow{{n}_{3}}•\overrightarrow{BE}$=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$．而|$\overrightarrow{{n}_{3}}$|=$\sqrt{2}$，|$\overrightarrow{BE}$|=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴cos＜$\overrightarrow{{n}_{3}}$，$\overrightarrow{BE}$＞=$\frac{\overrightarrow{{n}_{3}}•\overrightarrow{BE}}{|\overrightarrow{{n}_{3}}||\overrightarrow{BE}|}$=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
∴E點到平面ABC的距離d=|$\overrightarrow{BE}$|•|cos＜$\overrightarrow{{n}_{3}}$，$\overrightarrow{BE}$＞|=$\frac{\sqrt{3}}{2}•\frac{\sqrt{3}}{3}$=$\frac{1}{2}$．

點評 本題考查了面面垂直的判定，點到平面的距離，使用空間向量解題是常用方法之一．