Question

3．如圖，△ABC為邊長為2的正三角形，AE∥CD，且AE⊥平面ABC，2AE=CD=2．
（1）求證：平面BDE⊥平面BCD；
（2）求二面角D-EC-B的正弦值．

Answer 1

分析 （1）取BD邊的中點F，BC的中點為G，連接AG，FG，EF，由題意可知，四邊形AEFG為平行四邊形，
即AG∥EF，由AG⊥平面BCD可知，EF⊥平面BCD，可證平面BDE⊥平面BCD
（2），過點B在△BEC內做BM⊥EC，垂足為M，連接DM，則DM⊥EC，可得∠DMB為所求二面角的平面角
在等腰三角形EBC中．由面積相等可知：$MB=\frac{{4\sqrt{5}}}{5}$，$MD=\frac{{4\sqrt{5}}}{5}$；$BD=2\sqrt{2}$，根據余弦定理$cos∠DMB=\frac{{M{D^2}+M{B^2}-B{D^2}}}{2•MD•MB}$=$\frac{1}{4}$，即可．

解答 解：（1）證明：如下圖所示：取BD邊的中點F，BC的中點為G，
連接AG，FG，EF，由題意可知，FG是△BCD的中位線                
所以FG∥AE且FG=AE，即四邊形AEFG為平行四邊形，
所以AG∥EF
由AG⊥平面BCD可知，EF⊥平面BCD，又EF?面BDE，
故平面BDE⊥平面BCD
（2）由AB=2，AE=1可知，$BE=\sqrt{5}$，同理$DE=\sqrt{5}$
又DC=BC=2，EC為△BEC，△DEC的公共邊，
知△BEC≌△DEC，過點B在△BEC內做BM⊥EC，垂足為M，連接DM，則DM⊥EC，
所以∠DMB為所求二面角的平面角
在等腰三角形EBC中$BE=EC=\sqrt{5}$，BC=2．
由面積相等可知：$MB=\frac{{4\sqrt{5}}}{5}$，$MD=\frac{{4\sqrt{5}}}{5}$；$BD=2\sqrt{2}$
根據余弦定理$cos∠DMB=\frac{{M{D^2}+M{B^2}-B{D^2}}}{2•MD•MB}$=$\frac{1}{4}$
所以二面角D-EC-B正弦值為$\frac{{\sqrt{15}}}{4}$

點評 本題考查了空間面面垂直的判定，幾何法求二面角，屬于中檔題．