Question

10．△ABC中，邊長a、b是方程${x^2}-2\sqrt{3}x+2=0$的兩根，且2cos（A+B）=-1則邊長c等于（　�。�

• A． $\sqrt{2}$
• B． $\sqrt{3}$
• C． 2
• D． $\sqrt{6}$

Answer 1

分析 由已知可得cos（180°-C）=-$\frac{1}{2}$，結(jié)合三角形的內(nèi)角和A+B+C=π及誘導(dǎo)公式可知cosC=$\frac{1}{2}$，根據(jù)方程的根與系數(shù)的關(guān)系，利用余弦定理，代入已知可求c．

解答 解：∵在△ABC中，2cos（A+B）=-1，A+B+C=180°，
∴2cos（180°-C）=-1，∴cos（180°-C）=-$\frac{1}{2}$．
即cosC=$\frac{1}{2}$，
∵a，b是方程${x^2}-2\sqrt{3}x+2=0$的兩個根，
∴a+b=2$\sqrt{3}$，ab=2，
由余弦定理可知c=$\sqrt{{a}^{2}+^{2}-2ab•\frac{1}{2}}$=$\sqrt{（a+b）^{2}-3ab}$=$\sqrt{6}$，
故選D．

點評 本題主要考查了三角形的內(nèi)角和公式，三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式，方程的根與系數(shù)的關(guān)系，余弦定理的綜合運用，解決此類問題，不但要熟練掌握基本公式，基本運算，還要具備綜合運用知識的推理的能力．