Question

1．已知函數(shù)f（x）（x∈R）滿足f（1）=1，且$f'（x）＜\frac{1}{2}$，則$f（x）＜\frac{x}{2}+\frac{1}{2}$的解集為（　�。�

• A． {x|-1＜x＜1}
• B． {x|x＞-1}
• C． {x|x＜-1或x＞1}
• D． {x|x＞1}

Answer 1

分析 先由f′（x）＜$\frac{1}{2}$，知函數(shù)g（x）=f（x）-$\frac{1}{2}$x為R上的減函數(shù)，將所解不等式化為g（x）＜g（1），最后利用單調(diào)性解不等式即可．

解答 解：∵f（1）=1，∴f（1）-$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$，
∵f′（x）＜$\frac{1}{2}$，
∴（f（x）-$\frac{1}{2}$x）′＜0，令g（x）=f（x）-$\frac{1}{2}$x，
則g′（x）＜0，g（x）為R上的減函數(shù)，
∵不等式f（x）＜$\frac{1}{2}$x+$\frac{1}{2}$，即f（x）-$\frac{1}{2}$x＜$\frac{1}{2}$，
等價(jià)于f（x）-$\frac{1}{2}$x＜f（1）-$\frac{1}{2}$，等價(jià)于g（x）＜g（1），等價(jià)于x＞1，
故選：D．

點(diǎn)評 本題考查了導(dǎo)數(shù)在解決函數(shù)單調(diào)性問題時(shí)的應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真觀察，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，構(gòu)造函數(shù)解題，有一定的難度，屬于中檔題．