Question

12．已知函數(shù)f（x）=4sin（x-$\frac{π}{3}$）cosx+$\sqrt{3}$．
（1）求函數(shù)f（x）的最小周期和單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）若函數(shù)g（x）=f（x）-m在[0，$\frac{π}{2}$]上有兩個不同的零點x₁，x₂，求實數(shù)m的取值范圍，并計算tan（x₁+x₂）的值．

Answer 1

分析 （1）利用和與差以及輔助角公式基本公式將函數(shù)化為y=Asin（ωx+φ）的形式，再利用周期公式求函數(shù)的最小正周期，最后將內(nèi)層函數(shù)看作整體，放到正弦函數(shù)的增區(qū)間上，解不等式得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）函數(shù)g（x）=f（x）-m所在[0，$\frac{π}{2}$]勻上有兩個不同的零點x₁，x₂，轉(zhuǎn)化為函數(shù)f（x）與函數(shù)y=m有兩個交點；可求m的范圍，結(jié)合三角函數(shù)的圖象可知，x₁，x₂，關(guān)于對稱軸是對稱的，可知x₁+x₂，即可求tan（x₁+x₂）的值．

解答 解：函數(shù)f（x）=4sin（x-$\frac{π}{3}$）cosx+$\sqrt{3}$，
化簡可得：f（x）=2sinxcosx-2$\sqrt{3}$cos²x+$\sqrt{3}$=sin2x-2$\sqrt{3}$（$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$cos2x）+$\sqrt{3}$=sin2x-$\sqrt{3}$cos2x
=2sin（2x-$\frac{π}{3}$）．
（1）函數(shù)的最小正周期T=$\frac{2π}{2}$=π，
由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，
解得：kπ-$\frac{π}{12}$≤x≤kπ+$\frac{5π}{12}$，
∴函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為[：kπ-$\frac{π}{12}$，kπ+$\frac{5π}{12}$]，k∈Z．
（2）函數(shù)g（x）=f（x）-m所在[0，$\frac{π}{2}$]勻上有兩個不同的零點x₁′，x₂′，轉(zhuǎn)化為函數(shù)f（x）與函數(shù)y=m有兩個交點
令u=2x-$\frac{π}{3}$，∵x∈[0，$\frac{π}{2}$]，
∴u∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$]
可得f（x）=sinu的圖象（如圖）．
從圖可知：m∈[$\sqrt{3}$，2）時，函數(shù)f（x）與函數(shù)y=m有兩個交點，其橫坐標(biāo)分別為x₁′，x₂′．
故得實數(shù)m的取值范圍是m∈[$\sqrt{3}$，2），
由題意可知x₁′，x₂′是關(guān)于對稱軸是對稱的：
那么函數(shù)在[0，$\frac{π}{2}$]的對稱軸x=$\frac{5π}{12}$，
∴x₁′+x₂′=$\frac{5π}{12}$那么：tan（x₁′+x₂′）=tan$\frac{5π}{12}$=tan（$\frac{π}{6}$+$\frac{π}{4}$）=$\frac{tan\frac{π}{6}+tan\frac{π}{4}}{1-tan\frac{π}{6}tan\frac{π}{4}}$=$\frac{3+\sqrt{3}}{3-\sqrt{3}}$．

點評 本題主要考查對三角函數(shù)的化簡能力和三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)的運用，利用三角函數(shù)公式將函數(shù)進行化簡是解決本題的關(guān)鍵．屬于中檔題．