Question

2．已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=$\frac{1}{2}$，a_n+1=$\frac{{（{n+1}）（{2{a_n}-n}）}}{{{a_n}+4n}}$（n∈N^*）．
（1）求a₂，a₃；
（2）已知存在實(shí)數(shù)k，使得數(shù)列{$\frac{{a}_{n}-k{n}^{2}}{{a}_{n}-n}$}為公差為1的等差數(shù)列，求k的值；
（3）記b_n=$\frac{1}{{{{（{\sqrt{3}}）}^{n+2}}{a_{n+2}}}}$（n∈N^*），數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為S_n，求證：S_n＞-$\frac{{2\sqrt{3}+1}}{12}$．

Answer 1

分析 （1）運(yùn)用代入法，計算即可得到所求a₂，a₃；
（2）由等差數(shù)列的定義，可得$\frac{{a}_{2}-4k}{{a}_{2}-2}$-$\frac{{a}_{1}-k}{{a}_{1}-1}$=1，$\frac{{a}_{3}-9k}{{a}_{3}-3}$-$\frac{{a}_{2}-4k}{{a}_{2}-2}$=1，解方程可得k的值；
（3）運(yùn)用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式化簡可得a_n=$\frac{2n-{n}^{2}}{n+1}$，求出b_n=$\frac{1}{{{{（{\sqrt{3}}）}^{n+2}}{a_{n+2}}}}$=$\frac{1}{（\sqrt{3}）^{n+2}•\frac{-n（n+2）}{n+3}}$=$\frac{1}{2}$[$\frac{1}{（\sqrt{3}）^{n+2}（n+2）}$-$\frac{1}{（\sqrt{3}）^{n}n}$]，運(yùn)用裂項(xiàng)相消求和，求得數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為S_n，運(yùn)用不等式的性質(zhì)即可得證．

解答 解：（1）數(shù)列{a_n}滿足a₁=$\frac{1}{2}$，a_n+1=$\frac{{（{n+1}）（{2{a_n}-n}）}}{{{a_n}+4n}}$（n∈N^*），
可得a₂=$\frac{2（2{a}_{1}-1）}{{a}_{1}+4}$=0；a₃=$\frac{3（2{a}_{2}-2）}{{a}_{2}+4}$=$\frac{3×（0-2）}{0+8}$=-$\frac{3}{4}$；
（2）數(shù)列{$\frac{{a}_{n}-k{n}^{2}}{{a}_{n}-n}$}為公差為1的等差數(shù)列，
可得$\frac{{a}_{2}-4k}{{a}_{2}-2}$-$\frac{{a}_{1}-k}{{a}_{1}-1}$=1，即2k-$\frac{1-2k}{-1}$=1恒成立；
由$\frac{{a}_{3}-9k}{{a}_{3}-3}$-$\frac{{a}_{2}-4k}{{a}_{2}-2}$=1，即$\frac{-\frac{3}{4}-9k}{-\frac{3}{4}-3}$-2k=1，
解得k=2；
（3）證明：由（2）可得$\frac{{a}_{n}-2{n}^{2}}{{a}_{n}-n}$=$\frac{\frac{1}{2}-2}{\frac{1}{2}-1}$+（n-1）=n+2，
化簡可得a_n=$\frac{2n-{n}^{2}}{n+1}$，
b_n=$\frac{1}{{{{（{\sqrt{3}}）}^{n+2}}{a_{n+2}}}}$=$\frac{1}{（\sqrt{3}）^{n+2}•\frac{-n（n+2）}{n+3}}$
=-$\frac{n+3}{（\sqrt{3}）^{n+2}n（n+2）}$=$\frac{1}{2}$[$\frac{1}{（\sqrt{3}）^{n+2}（n+2）}$-$\frac{1}{（\sqrt{3}）^{n}n}$]，
則前n項(xiàng)和為S_n=$\frac{1}{2}$[$\frac{1}{（\sqrt{3}）^{3}•3}$-$\frac{1}{\sqrt{3}•1}$+$\frac{1}{（\sqrt{3}）^{4}•4}$-$\frac{1}{（\sqrt{3}）^{2}•2}$+$\frac{1}{（\sqrt{3}）^{5}•5}$-$\frac{1}{（\sqrt{3}）^{3}•3}$
+…+$\frac{1}{（\sqrt{3}）^{n+1}（n+1）}$-$\frac{1}{（\sqrt{3}）^{n-1}（n-1）}$+$\frac{1}{（\sqrt{3}）^{n+2}（n+2）}$-$\frac{1}{（\sqrt{3}）^{n}n}$]
=$\frac{1}{2}$[$\frac{1}{（\sqrt{3}）^{n+1}（n+1）}$+$\frac{1}{（\sqrt{3}）^{n+2}（n+2）}$-$\frac{1}{\sqrt{3}}$-$\frac{1}{6}$]
＞$\frac{1}{2}$（-$\frac{1}{\sqrt{3}}$-$\frac{1}{6}$）=-$\frac{{2\sqrt{3}+1}}{12}$．
即為S_n＞-$\frac{{2\sqrt{3}+1}}{12}$．

點(diǎn)評 本題考查等差數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式的運(yùn)用，考查方程思想和運(yùn)算能力，以及裂項(xiàng)相消求和方法，不等式的性質(zhì)，屬于中檔題．