Question

4．已知函數(shù)f（x）=sinxcosx+sin²x．
（1）求函數(shù)f（x）的遞增區(qū)間；
（2）若a為銳角，且f（$\frac{α}{2}$）=$\frac{3\sqrt{2}+5}{10}$，求cosα．

Answer 1

分析 （1）利用三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡可求f（x）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（2x-$\frac{π}{4}$）+$\frac{1}{2}$，利用正弦函數(shù)的單調(diào)性即可得解．
（2）由已知可求sin（α-$\frac{π}{4}$）=$\frac{3}{5}$，利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求cos（α-$\frac{π}{4}$）的值，進而利用兩角和的余弦函數(shù)公式即可計算得解．

解答 （本題滿分為12分）
解：（1）f（x）=sinxcosx+sin²x=$\frac{1}{2}$sin2x+$\frac{1-cos2x}{2}$=$\frac{1}{2}$（sin2x-cos2x）+$\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（2x-$\frac{π}{4}$）+$\frac{1}{2}$，…4分
令-$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x-$\frac{π}{4}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ，k∈Z，
解得f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為：[-$\frac{π}{8}$+kπ，$\frac{3π}{8}$+kπ]，（k∈Z），…6分
（2）因為，f（$\frac{α}{2}$）=$\frac{3\sqrt{2}+5}{10}$，
所以，$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（α-$\frac{π}{4}$）+$\frac{1}{2}$=$\frac{3\sqrt{2}+5}{10}$，可得：sin（α-$\frac{π}{4}$）=$\frac{3}{5}$，…8分
因為α∈（0，$\frac{π}{2}$），可得：α-$\frac{π}{4}$∈（-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}$），可得：cos（α-$\frac{π}{4}$）=$\frac{4}{5}$，…10分
所以，cosα=[（α-$\frac{π}{4}$）+$\frac{π}{4}$]=cos（α-$\frac{π}{4}$）cos$\frac{π}{4}$-sin（α-$\frac{π}{4}$）sin$\frac{π}{4}$=$\frac{\sqrt{2}}{10}$．…12分

點評 本題主要考查了三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，正弦函數(shù)的單調(diào)性，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，兩角和的余弦函數(shù)公式在三角函數(shù)化簡求值中的應(yīng)用，考查了計算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．