Question

5．已知正項(xiàng)的數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，首項(xiàng)a₁=1，點(diǎn)$P（{a_n}，a_{n+1}^2）$在曲線y=x²+4x+4上．
（1）求a_n和S_n；
（2）若數(shù)列{b_n}滿足b₁=17，b_n+1-b_n=2n，求使得$\frac{b_n}{{\sqrt{S_n}}}$最小的序號(hào)n的值．

Answer 1

分析 （1）由點(diǎn)$P（{a_n}，a_{n+1}^2）$在曲線y=x²+4x+4上，可得${a}_{n+1}^{2}$=${a}_{n}^{2}+4{a}_{n}$+4，a_n＞0，可得a_n+1-a_n=2，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式即可得出．
（2）由b₁=17，b_n+1-b_n=2n，利用b_n=（b_n-b_n-1）+（b_n-1-b_n-2）+…+（b₂-b₁）+b₁及其等差數(shù)列的求和公式即可得出．可得$\frac{b_n}{{\sqrt{S_n}}}$=$\frac{{n}^{2}-n+17}{n}$=n+$\frac{17}{n}$-1，令f（x）=x+$\frac{17}{x}$-1，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性即可得出．

解答 解：（1）∵點(diǎn)$P（{a_n}，a_{n+1}^2）$在曲線y=x²+4x+4上，∴${a}_{n+1}^{2}$=${a}_{n}^{2}+4{a}_{n}$+4，a_n＞0，∴a_n+1-a_n=2，
∴數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，公差為2，∴a_n=1+2（n-1）=2n-1，S_n=$\frac{n（1+2n-1）}{2}$=n²．
（2）∵b₁=17，b_n+1-b_n=2n，
∴b_n=（b_n-b_n-1）+（b_n-1-b_n-2）+…+（b₂-b₁）+b₁
=2（n-1）+2（n-2）+…+2+17
=$2×\frac{（n-1）×n}{2}$+1=n²-n+17．
∴$\frac{b_n}{{\sqrt{S_n}}}$=$\frac{{n}^{2}-n+17}{n}$=n+$\frac{17}{n}$-1，
令f（x）=x+$\frac{17}{x}$-1，f′（x）=1-$\frac{17}{{x}^{2}}$=$\frac{{x}^{2}-17}{{x}^{2}}$．
可知：函數(shù)f（x）在$（0，\sqrt{17}）$上單調(diào)遞減，在$（\sqrt{17}，+∞）$單調(diào)遞增，
f（4）=4+$\frac{17}{4}$-1=$\frac{29}{4}$，f（5）=5+$\frac{17}{5}$-1=$\frac{37}{5}$＞$\frac{29}{4}$．
因此n=4時(shí)，使得$\frac{b_n}{{\sqrt{S_n}}}$最小．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及其求和公式、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值、“累加求和方法”，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．