Question

5．已知等差數(shù)列{a_n}，a₂+a₃+a₄=15，a_n＞0，且a₂，a₃+4，a₄+20為等比數(shù)列{b_n}的前三項(xiàng)，
（1）求{a_n}，{b_n}的通項(xiàng)公式．
（2）設(shè)數(shù)列d_n=$\frac{2}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$的前n項(xiàng)和為T_n，求T_n．
（3）若數(shù)列c_n=a_n•b_n，求數(shù)列{c_n}的前n和S_n．

Answer 1

分析 （1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，運(yùn)用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和等比數(shù)列的中項(xiàng)的性質(zhì)和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，解方程即可得到所求；
（2）求出d_n=$\frac{2}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{2}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$，運(yùn)用裂項(xiàng)相消求和，化簡(jiǎn)即可得到所求和；
（3）求得c_n=a_n•b_n=（2n-1）•3ⁿ，運(yùn)用錯(cuò)位相減法求和，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式，化簡(jiǎn)即可得到所求和．

解答 解：（1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，
a₂+a₃+a₄=15，可得3a₁+6d=15，①
a₂，a₃+4，a₄+20為等比數(shù)列{b_n}的前三項(xiàng)，
可得（a₃+4）²=a₂（a₄+20），
檢驗(yàn)（a₁+2d+4）²=（a₁+d）（a₁+3d+20），②
由①②解得a₁=1，d=2，
可得a_n=2n-1，
等比數(shù)列{b_n}的前三項(xiàng)為3，9，27，
可得公比為3，
即有b_n=3ⁿ；
（2）數(shù)列d_n=$\frac{2}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{2}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$，
的前n項(xiàng)和為T_n=1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$=1-$\frac{1}{2n+1}$=$\frac{2n}{2n+1}$；
（3）c_n=a_n•b_n=（2n-1）•3ⁿ，
可得前n項(xiàng)和S_n=1•3+3•3²+…+（2n-1）•3ⁿ，
3S_n=1•3²+3•3³+…+（2n-1）•3ⁿ⁺¹，
兩式相減可得，-2S_n=3+2（3²+…+3ⁿ）-（2n-1）•3ⁿ⁺¹
=3+2•$\frac{9（1-{3}^{n-1}）}{1-3}$-（2n-1）•3ⁿ⁺¹，
化簡(jiǎn)可得S_n=3+（n-1）•3ⁿ⁺¹．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式的運(yùn)用，考查數(shù)列的求和方法：裂項(xiàng)相消求和和錯(cuò)位相減法，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．