16.設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn,a1=$\frac{1}{3}$,且對任意m,n∈N*,am+n=am•an,若Sn<a恒成立,則a的最小值為$\frac{1}{2}$.

分析 由am+n=am•an,令m等于1化簡后,由等比數(shù)列的定義確定此數(shù)列是等比數(shù)列,利用等比數(shù)列的前n項和的公式表示出Sn,利用極限思想和條件求出滿足條件a的范圍,再求出a的最小值

解答 解:由題意得,對任意正整數(shù)m,n,都有am+n=am•an,
令m=1,得到an+1=a1•an,則$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=a1=$\frac{1}{3}$,
則數(shù)列{an}是首項、公比都為$\frac{1}{3}$的等比數(shù)列,
∴Sn=$\frac{\frac{1}{3}[1-(\frac{1}{3})^{n}]}{1-\frac{1}{3}}$=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2}$($\frac{1}{3}$)n<$\frac{1}{2}$,
因為Sn<a對任意n∈N*恒成立,所以a≥$\frac{1}{2}$,則實數(shù)a的最小值是$\frac{1}{2}$,
故答案為:$\frac{1}{2}$.

點評 本題考查了等比數(shù)列關(guān)系的確定,等比數(shù)列的前n項和的公式,以及不等式恒成立問題,屬于中檔題.

練習(xí)冊系列答案
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A.向左平移$\frac{1}{5}$個單位長度B.向右平移$\frac{π}{5}$個單位長度
C.向右平移$\frac{1}{5}$個單位長度D.向左平移$\frac{π}{5}$個單位長度

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7.證明下列不等式:
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11.已知數(shù)列{an}前n項和為${S_n}={n^2}-2n+a$,若該數(shù)列是等差數(shù)列,則a=( 。
A.-1B.0C.1D.不確定

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1.某數(shù)據(jù)由大到小為10,5,x,2,2,1,其中x不是5,該組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是中位數(shù)的$\frac{2}{3}$,該組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差為( 。
A.3B.4C.5D.6

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8.設(shè)函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+5,曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線方程為y=3x+1.
(1)求f(x)的表達式;
(2)求y=f(x)在[-3,1]上的最大值.

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4.為了了解一個小水庫中養(yǎng)殖的魚的有關(guān)情況,從這個水庫中多個不同位置捕撈出100條魚,稱得每條魚的質(zhì)量(單位:kg),并將所得數(shù)據(jù)分組,畫出頻率分布直方圖(如圖所示).
(1)在下面表格中填寫相應(yīng)的頻率;
分組頻率
[1.00,1.05)
[1.05,1.10)
[1.10,1.15)
[1.15,1.20)
[1.20,1.25)
[1.25,1.30)
(2)估計數(shù)據(jù)落在[1.15,1.30)中的概率為多少;
(3)將上面捕撈的100條魚分別作一記號后再放回水庫.幾天后再從水庫的多處不同位置捕撈出120條魚,其中帶有記號的魚有6條.請根據(jù)這一情況來估計該水庫中魚的總條數(shù).

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4.在極坐標(biāo)系中,直線l的極坐標(biāo)方程為ρcos(θ+$\frac{π}{3}$)=1.以極點O為原點,極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標(biāo)系,圓C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=rcosθ}\\{y=rsinθ}\end{array}\right.$(θ為參數(shù)).若直線l與圓C相切,求r的值.

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