Question

【題目】如圖，已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，點(diǎn)為橢圓上任意一點(diǎn)，關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)為，有，且的最大值.

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若是關(guān)于軸的對稱點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)，連接與橢圓相交于點(diǎn)，問直線與軸是否交于一定點(diǎn).如果是，求出該定點(diǎn)坐標(biāo)；如果不是，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）定點(diǎn).

【解析】

（1）由對稱可得，故．又根據(jù)的最大值得到，進(jìn)而得到，，所以可得到橢圓的方程．

（2）由題意可設(shè)直線的方程為，結(jié)合由直線方程與橢圓方程組成的方程組可得直線的方程為，令得，將，代入上式整理得，然后代入兩根和與兩根積可得，從而得直線與軸交于定點(diǎn)．

（1）因?yàn)辄c(diǎn)為橢圓上任意一點(diǎn)，關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)為，

所以，

又，

所以，

．

又的最大值為，知當(dāng)為上頂點(diǎn)時，最大，

所以，

所以，

所以．

所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．

（2）由題知直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為．

由消去并整理得．

因?yàn)橹本�與橢圓交于兩點(diǎn)，

所以，

解得．

設(shè)，，則，

且，，①

由題意得，直線的方程為，

令得，

將，代入上式整理得．

將①代入上式，得，

所以直線與軸交于定點(diǎn)．