Question

14．（Ⅰ）已知奇函數(shù)f（x）的定義域為[-2，2]，且在區(qū)間[-2，0]上遞減，求滿足f（1-m）+f（1-m²）＜0的實數(shù)m的取值范圍．
（Ⅱ）已知f（x）為定義在[a-1，2a+1]上的偶函數(shù)，當x≥0時，f（x）=e^x+1，則f（2x+1）＞f（$\frac{x}{2}$+1）的解x的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意得奇函數(shù)f（x）在定義域[-2，2]內(nèi)遞減，將f（1-m）+f（1-m²）＜0轉(zhuǎn)化為：f（1-m）＜f（m²-1），再由單調(diào)性列出關于實數(shù)m的不等式組，解不等式組即可得到實數(shù)m的取值范圍．
（Ⅱ）先根據(jù)函數(shù)的奇偶性求出a的值，然和根據(jù)復合函數(shù)單調(diào)性可知當x≥0時，函數(shù)為增函數(shù)，再由偶函數(shù)圖象在對稱區(qū)間上單調(diào)性相反，可得當x≤0時，f（x）為減函數(shù)，則f（2x+1）＞f（$\frac{x}{2}$+1）可轉(zhuǎn)化為|2x+1|＞|$\frac{x}{2}$+1|，解得x的取值范圍即可．

解答 解：（Ⅰ）∵f（x）的定義域為[-2，2]，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-2≤1-m≤2}\\{-2≤1-{m}^{2}≤2}\end{array}\right.$，解得-1≤m≤$\sqrt{3}$．①…（3分）
又f（x）為奇函數(shù)，且在[-2，0]上遞減，
∴f（x）在[-2，2]上遞減，
∴f（1-m）＜-f（1-m²）=f（m²-1）⇒1-m＞m²-1，即-2＜m＜1．②…（6分）
綜合①②可知，-1≤m＜1…（7分）
（Ⅱ）函數(shù)為偶函數(shù)，滿足-（a-1）=2a+1⇒a=0，…（7分）
所以函數(shù)的定義域為[-1，1]，
當x≥0時，f（x）=e^x+1，所以函數(shù)f（x）在[0，1]上單調(diào)遞增，
所以f（2x+1）＞f（$\frac{x}{2}$+1）滿足f（|2x+1|）＞f（|$\frac{x}{2}$+1|），…（10分）
所以不等式的解的取值范圍是$\left\{\begin{array}{l}{-1≤2x+1≤1}\\{-1≤\frac{x}{2}+1≤1}\\{|2x+1|＞|\frac{x}{2}+1|}\end{array}\right.$…（12分）
⇒-1≤x＜-$\frac{4}{5}$…（14分）．

點評 本題考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的綜合運用，以及轉(zhuǎn)化思想，解題過程中應注意定義域的取值范圍，這是易忘的地方．