【題目】已知橢圓的中心在坐標原點,焦點在軸上,離心率為,橢圓上的點到焦點距離的最大值為.

（1）求橢圓的標準方程;

（2）斜率為的直線與橢圓交于不同的兩點,且線段的中垂線交軸于點,求點橫坐標的取值范圍.

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）設(shè)橢圓的標準方程為:,根據(jù)離心率為,橢圓上的點到焦點距離的最大值為,可得,即可求得答案;

（2）設(shè)的中點為,直線聯(lián)立橢圓和直線方程:,解得范圍,根據(jù)點差法求得與關(guān)系式,結(jié)合已知條件,即可求得答案.

（1）設(shè)橢圓的標準方程為:

離心率為,橢圓上的點到焦點距離的最大值為.

解得:

橢圓的標準方程為:

（2）設(shè)的中點為,直線

聯(lián)立橢圓和直線方程: ,消掉

解得:

直線與橢圓交于不同的兩點

,即:

解得:

設(shè)點 ,代入橢圓方程得:

將兩個方程作差可得:

即:

可得: ①

根據(jù)與垂直可得: ②

又 根據(jù)兩點的中點為,由中點坐標公式可得:

③

將②③代入①中可得:.④

將代入直線中得:⑤

聯(lián)立④⑤ 得:

的中垂線方程為:

當(dāng),是可得:

,

又

點橫坐標的取值范圍:.

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（2）若直線平面，求到平面的距離.

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