Question

2．函數(shù)f（x）=4x³+ax²+bx+5在（-∞，-1）和（$\frac{3}{2}$，+∞）單調(diào)遞增，在（-1，$\frac{3}{2}$）單調(diào)遞減．
（1）求函數(shù)的解析式；
（2）求f（x）在[-1，2]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）f′（x）=12x²+2ax+b．根據(jù)函數(shù)f（x）=4x³+ax²+bx+5在（-∞，-1）和（$\frac{3}{2}$，+∞）單調(diào)遞增，在（-1，$\frac{3}{2}$）單調(diào)遞減．可得-1，$\frac{3}{2}$是f′（x）=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根．利用根與系數(shù)的關(guān)系即可得出．
（2）由f′（x）=12x²-6x-18=12（x+1）（x-$\frac{3}{2}$），可知：函數(shù)f（x）在[-1，$\frac{3}{2}$）單調(diào)遞減，函數(shù)f（x）在（$\frac{3}{2}$，2）上單調(diào)遞增．進(jìn)而得出最值．

解答 解：（1）f′（x）=12x²+2ax+b．
∵函數(shù)f（x）=4x³+ax²+bx+5在（-∞，-1）和（$\frac{3}{2}$，+∞）單調(diào)遞增，在（-1，$\frac{3}{2}$）單調(diào)遞減．
∴-1，$\frac{3}{2}$是f′（x）=12x²+2ax+b=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根．
∴-1+$\frac{3}{2}$=-$\frac{a}{6}$，-1×$\frac{3}{2}$=$\frac{12}$．
解得a=-3，b=-18．
∴f′（x）=12x²-6x-18=12（x+1）（x-$\frac{3}{2}$），滿足條件．
∴f（x）=4x³-3x²-12x+5．
（2）由f′（x）=12x²-6x-18=12（x+1）（x-$\frac{3}{2}$），
可知：函數(shù)f（x）在[-1，$\frac{3}{2}$）單調(diào)遞減，函數(shù)f（x）在（$\frac{3}{2}$，2）上單調(diào)遞增．
∴當(dāng)x=$\frac{3}{2}$時(shí)，函數(shù)f（x）取得極小值即最小值，$f（\frac{3}{2}）$=-$\frac{25}{4}$．
又f（-1）=10，f（2）=1．
∴x=-1時(shí)，函數(shù)f（x）取得最大值為10．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．