Question

6．已知向量$\overrightarrow{a}$=（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosωx），$\overrightarrow$=（2+cos²ωx，sinωx）（ω＞0），函數(shù)f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$在區(qū)間[m，n]上單調(diào)，且|m-n|的最大值是$\frac{π}{2}$．則f（$\frac{π}{2}$）=（　�。�

• A． 2
• B． $\frac{7}{4}$
• C． $\frac{5}{4}$
• D． 1

Answer 1

分析 利用數(shù)量積公式得出f（x）解析式，利用三角恒等變換化簡(jiǎn)，根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)求出ω，得到函數(shù)解析式，則f（$\frac{π}{2}$）可求．

解答 解：∵$\overrightarrow{a}$=（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosωx），$\overrightarrow$=（2+cos²ωx，sinωx）（ω＞0），
∴f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=$\frac{1}{2}×（2+co{s}^{2}ωx）+\frac{\sqrt{3}}{2}cosωxsinωx$
=$1+\frac{1}{2}co{s}^{2}ωx+\frac{\sqrt{3}}{4}sin2ωx$=$1+\frac{1}{4}（1+cos2ωx）+\frac{\sqrt{3}}{4}sin2ωx$
=$\frac{1}{2}（\frac{\sqrt{3}}{2}sin2ωx+\frac{1}{2}cos2ωx）+\frac{5}{4}$=$\frac{1}{2}sin（2ωx+\frac{π}{6}）+\frac{5}{4}$．
∵單調(diào)區(qū)間[m，n]的最大長(zhǎng)度為$\frac{π}{2}$，
∴f（x）的周期T=π，即$\frac{2π}{2ω}$=π，得ω=1．
∴f（x）=$\frac{1}{2}sin（2x+\frac{π}{6}）$，
∴f（$\frac{π}{2}$）=$\frac{1}{2}sin（π+\frac{π}{6}）+\frac{5}{4}=\frac{1}{2}×（-\frac{1}{2}）+\frac{5}{4}=1$．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平面向量的數(shù)量積，三角恒等變換與正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，屬于中檔題．