Question

13．已知A-BCD為正四面體，則其側(cè)面與底面所成角的余弦值為（　�。�

• A． $\frac{1}{3}$
• B． $\sqrt{5}$
• C． 2$\sqrt{2}$
• D． $\frac{2\sqrt{2}}{3}$

Answer 1

分析 由已知中正四面體的所有面都是等邊三角形，取CD的中點E，連接AE，BE，由等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)，易得∠AEB即為側(cè)面與底面所成二面角的平面角，解三角形ABE即可得到正四面體側(cè)面與底面所成二面角的余弦值．

解答 解：不妨設(shè)正四面體為A-BCD，
取CD的中點E，連接AE，BE，
設(shè)四面體的棱長為2，則AE=BE=$\sqrt{3}$
且AE⊥CD，BE⊥CD，
則∠AEB即為側(cè)面與底面所成二面角的平面角．
在△ABE中，cos∠AEB=$\frac{A{E}^{2}+B{E}^{2}-A{B}^{2}}{2AE•BE}=\frac{1}{3}$，
故正四面體側(cè)面與底面所成二面角的余弦值是$\frac{1}{3}$．
故選A．

點評 本題考查的知識點是二面角的平面角及求法，其中確定∠AEB即為相鄰兩側(cè)面所成二面角的平面角，是解答本題的關(guān)鍵．