Question

20．已知函數(shù)$f（x）=3lnx-\frac{1}{2}{x^2}+x$，g（x）=3x+a．
（Ⅰ）若f（x）與g（x）相切，求a的值；
（Ⅱ）當(dāng)$a=\frac{5}{2}$時(shí)，P（x₁，y₁）為f（x）上一點(diǎn)，Q（x₂，y₂）為g（x）上一點(diǎn)，求|PQ|的最小值；
（Ⅲ）?x₀＞0，使f（x₀）＞g（x₀）成立，求參數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）設(shè)切點(diǎn)為（x₀，f（x₀）），利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切點(diǎn)為$（{1，\frac{1}{2}}）$，代入g（x）=3x+a，能求出結(jié)果．
（2）$f'（x）=\frac{3}{x}-x+1$=$\frac{{-{x^2}+x+3}}{x}$，設(shè)-x²+x+3=0的兩根x₁＜0＜x₂，|PQ|的最小值為切線與g（x）的距離，由此能求出結(jié)果．
（3）由題意得$3lnx-\frac{1}{2}{x^2}-2x＞a$．設(shè)$h（x）=3lnx-\frac{1}{2}{x^2}-2x$，則問題轉(zhuǎn)化為a＜h（x）_max即可，由此能求出結(jié)果．

解答 解：（1）∵$f（x）=3lnx-\frac{1}{2}{x^2}+x$，∴$f'（x）=\frac{3}{x}-x+1$，
設(shè)切點(diǎn)為（x₀，f（x₀）），
則k=f'（x₀）=$\frac{3}{x_0}-{x_0}+1=3$，解得x₀=1或x₀=-3（舍）
∴切點(diǎn)為$（{1，\frac{1}{2}}）$，代入g（x）=3x+a，得$a=-\frac{5}{2}$．
（2）$f'（x）=\frac{3}{x}-x+1$=$\frac{{-{x^2}+x+3}}{x}$，設(shè)-x²+x+3=0的兩根x₁＜0＜x₂，
列表討論：

x	（0，x2）	x2	（x2，+∞）
y'	+	0	-
y	增	極大值	減

由（1）知$y=3x-\frac{5}{2}$與f（x）在x=1處相切且x₂＞1
∴當(dāng)$a=\frac{5}{2}$時(shí)，$g（x）=3x+\frac{5}{2}$與f（x）無交點(diǎn)，|PQ|的最小值為切線與g（x）的距離，
即|PQ|_min=d=$\frac{{|{\frac{5}{2}+\frac{5}{2}}|}}{{\sqrt{10}}}=\frac{{\sqrt{10}}}{2}$．
（3）由題意得$3lnx-\frac{1}{2}{x^2}+x$＞3x+a
即$3lnx-\frac{1}{2}{x^2}-2x＞a$．
設(shè)$h（x）=3lnx-\frac{1}{2}{x^2}-2x$，則問題轉(zhuǎn)化為a＜h（x）_max即可
${h}^{'}（x）=\frac{3}{x}-x-2$，x＞0，
由h′（x）=0，得x=1，或x=-3（舍），
由h′（x）＞0，得0＜x＜1，由h′（x）＜0，得x＞1，
∴$h{（x）_{max}}=h（1）=-\frac{5}{2}$，
∴$a＜-\frac{5}{2}$，即參數(shù)a的取值范圍是（-∞，-$\frac{5}{2}$）．

點(diǎn)評 本題考查導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用、不等式、函數(shù)等基礎(chǔ)知識，考查考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力、抽象概括能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想、分類與整合思想，是中檔題．