Question

5．學(xué)校餐廳每天供應(yīng)500名學(xué)生用餐，每星期一有A、B兩種菜可供選擇．調(diào)查表明，凡是在這星期一選A種菜的，下星期一會(huì)有20%改選B種菜；而選B種菜的，下星期一會(huì)有30%改選A菜．用a_n，b_n分別表示在第n個(gè)星期選A的人數(shù)和選B的人數(shù)，若a₁=300，則a₂₀=（　　）

• A． 260
• B． 280
• C． 300
• D． 320

Answer 1

分析 根據(jù)題意可得：設(shè){a_n}為第n個(gè)星期一選A的人數(shù)，{b_n}為第n個(gè)星期一選B的人數(shù)，根據(jù)這星期一選B菜的，下星期一會(huì)有$\frac{3}{10}$改選A菜，依題意有：a_n=$\frac{4}{5}$a_n-1+$\frac{3}{10}$（500-a_n-1）=$\frac{1}{2}{a}_{n-1}$+150．a(chǎn)₁=300．（n≥2）．

解答 解：根據(jù)題意可得：設(shè){a_n}為第n個(gè)星期一選A的人數(shù)，{b_n}為第n個(gè)星期一選B的人數(shù)，根據(jù)這星期一選B菜的，下星期一會(huì)有$\frac{3}{10}$改選A菜，
依題意有：a_n=$\frac{4}{5}$a_n-1+$\frac{3}{10}$（500-a_n-1）=$\frac{1}{2}{a}_{n-1}$+150．a(chǎn)₁=300．（n≥2）．
變形為：a_n-300=$\frac{1}{2}$（a_n-1-300）．
∴a_n-300=$\frac{1}{2}$（a_n-1-300）．
由a₁=300，可得a_n=300．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、數(shù)列遞推關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．