Question

9．動(dòng)點(diǎn)P從邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD的頂點(diǎn)A出發(fā)順次經(jīng)過(guò)B，C，D再回到A，設(shè)x表示P點(diǎn)的行程，f（x）表示PA的長(zhǎng)，g（x）表示△ABP的面積．
（1）求f（x）的表達(dá)式；
（2）求g（x）的表達(dá)式并作出g（x）的簡(jiǎn)圖．

Answer 1

分析 （1）動(dòng)點(diǎn)P各有不同位置，計(jì)算PA也有不同的方法，因此同樣必須對(duì)P點(diǎn)的位置進(jìn)行分類求解．
（2）△ABP的形狀各有特征，計(jì)算它們的面積也有不同的方法，因此同樣必須對(duì)P點(diǎn)的位置進(jìn)行分類求解．

解答 解：（1）如原題圖，當(dāng)P在AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，PA=x；
當(dāng)P點(diǎn)在BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，由Rt△ABD?可得PA=$\sqrt{1+（x-1）^{2}}$
當(dāng)P點(diǎn)在CD上運(yùn)動(dòng)時(shí)，由Rt△ADP易得PA=$\sqrt{1+（3-x）^{2}}$
當(dāng)P點(diǎn)在DA上運(yùn)動(dòng)時(shí)，PA=4-x，
故f（x）的表達(dá)式為：
f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x，（0≤x≤1）}\\{\sqrt{{x}^{2}-2x+2}，（1＜x≤2）}\\{\sqrt{{x}^{2}-6x+10}，（2＜x≤3）}\\{4-x，（3＜x≤4）}\end{array}\right.$．
（2）g（x）的簡(jiǎn)圖：
由于P點(diǎn)在折線ABCD上不同位置時(shí)，如原題圖，
當(dāng)P在線段AB上時(shí)，即0≤x＜1時(shí)，S△ABP的面積S=0；
當(dāng)P在線段BC上時(shí)，即1＜x≤2時(shí)，S_△ABP=$\frac{1}{2}$AB•BP=$\frac{1}{2}$（x-1）；
當(dāng)P在線段CD上時(shí)，即2＜x≤3時(shí)，S_△ABP=$\frac{1}{2}$•1•1=$\frac{1}{2}$
當(dāng)P在線段DA上時(shí)，即3＜x≤4時(shí)，S_△ABP=$\frac{1}{2}$（4-x）
故g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{0，（0≤x≤1）}\\{\frac{1}{2}（x-1），（1＜x≤2）}\\{\frac{1}{2}，（2＜x≤3）}\\{\frac{1}{2}（4-x），（3＜x≤4）}\end{array}\right.$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了分段函數(shù)的求法，背景是動(dòng)點(diǎn)的軌跡不同，線段的長(zhǎng)以及三角形的面積也會(huì)發(fā)生變化．屬于中檔題．