Question

數(shù)列{a_n}，a₁=1，a_n=

1

2

a_n-1-

1

2n

（n≥2，n∈N^*）
（1）求證：數(shù)列{2ⁿa_n}是等差數(shù)列；
（2）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n及其前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等差關(guān)系的確定

專(zhuān)題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由a_n=

1

2

a_n-1-

1

2n

（n≥2，n∈N^*），變形為2nan-2n-1an-1=-1，即可證明；
（2）由（1）等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可得：2ⁿa_n=2-（n-1）=3-n．可得an=

3-n

2n

．利用“錯(cuò)位相減法”及等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得出．

解答： （1）證明：∵a_n=

1

2

a_n-1-

1

2n

（n≥2，n∈N^*），
∴2nan-2n-1an-1=-1，
∴數(shù)列{2ⁿa_n}是等差數(shù)列，首項(xiàng)為2a₁=2，公差為-1；
（2）解：由（1）可得：2ⁿa_n=2-（n-1）=3-n．
∴an=

3-n

2n

．
∴數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=

2

2

+

1

22

+0+

-1

24

+…+

4-n

2n-1

+

3-n

2n

，

1

2

Sn=

2

22

+

1

23

+0+

-1

25

+…+

4-n

2n

+

3-n

2n+1

，
∴

1

2

Sn=1-

1

22

-

1

23

-…-

1

2n

-

3-n

2n+1

=

3

2

-

1 2 (1- 1 2n )

1- 1 2

-

3-n

2n+1

=

1

2

+

n-1

2n+1

．
∴S_n=1+

n-1

2n

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、“錯(cuò)位相減法”及等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．